从正则对易关系出发推导 $bra q ketp = e^ipq hbar$

我们从正则对易关系出发：

$$[\hat{q},\hat{p}] = i\hbar$$

对于任意一个态$\left|\psi\right\rangle$，我们可以将其表示为位置本征态的线性组合：

$$\left|\psi\right\rangle = \int dx,\psi(x)\left|x\right\rangle$$

其中$\psi(x)$是位置表象下的波函数。然后我们将位置算符$\hat{q}$作用在这个态上：

$$\hat{q}\left|\psi\right\rangle = \int dx,\psi(x)\hat{q}\left|x\right\rangle = \int dx, x\psi(x)\left|x\right\rangle = q\left|\psi\right\rangle$$

这表明$\left|\psi\right\rangle$是位置本征态，本征值为$q$。

同样地，我们将动量算符$\hat{p}$作用在这个态上：

$$\hat{p}\left|\psi\right\rangle = \int dx,\psi(x)\hat{p}\left|x\right\rangle = \int dx,\psi(x)\left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\left|x\right\rangle = -i\hbar\int dx,\psi(x)\frac{d}{dx}\left|x\right\rangle$$

我们知道，动量算符$\hat{p}$在位置表象下的本征态是平面波函数$\left\langle x|p\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}$，因此我们可以将$\hat{p}\left|\psi\right\rangle$表示为平面波函数的线性组合：

$$\hat{p}\left|\psi\right\rangle = -i\hbar\int dp,\tilde{\psi}(p)\left|p\right\rangle$$

其中$\tilde{\psi}(p)$是动量表象下的波函数，与位置表象下的波函数$\psi(x)$有Fourier变换关系：

$$\tilde{\psi}(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int dx,e^{-ipx/\hbar}\psi(x)$$

现在我们来计算$\bra q\ket{p}$。首先我们将$\bra q$表示成位置表象下的态：

然后我们将$\left|\psi\right\rangle$表示成位置本征态的线性组合，并将$\left\langle q|\cdot\right.$作用在上面：

$$\left\langle q|\left.\psi\right\rangle = \int dx,\delta(x-q)\psi(x) = \psi(q)$$

接下来我们将$\left.\psi\right\rangle$表示成动量表象下的态：

$$\left.\psi\right\rangle = \int dp,\tilde{\psi}(p)\left|p\right\rangle$$

最后我们将$\left\langle p|\cdot\right.$作用在上面：

$$\bra q\ket{p} = \left\langle p|\left.q\right\rangle\right. = \int dx,dp,\tilde{\psi}(p)\delta(x-q)\left\langle p|x\right\rangle = \int dp,\tilde{\psi}(p)\left\langle p|q\right\rangle$$

对于$\left\langle p|q\right\rangle$，我们可以将其表示为位置表象下的矩阵元：

$$\left\langle p|q\right\rangle = \int dx,\left\langle p|x\right\rangle\left\langle x|q\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int dx,e^{i(p-q)x/\hbar} = \sqrt{\frac{\hbar}{2\pi}}e^{i(p-q)0/\hbar} = \sqrt{\frac{\hbar}{2\pi}}$$

因此：

$$\bra q\ket{p} = \int dp,\tilde{\psi}(p)\sqrt{\frac{\hbar}{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int dp,\tilde{\psi}(p)\sqrt{\hbar} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int dp,\tilde{\psi}(p)\sqrt{\frac{\hbar}{2\pi}}$$

我们发现上式中的积分式恰好是$\bra\tilde{\psi}\ket{p}$，因此：

$$\bra q\ket{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\bra\tilde{\psi}\ket{p}$$

最后，我们将$\bra\tilde{\psi}\ket{p}$表示成位置表象下的波函数$\psi(x)$的Fourier变换形式：

$$\bra q\ket{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int dx,\psi(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-ipx/\hbar} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int dx,\psi(x)e^{-ipx/\hbar}$$

这正是我们所要证明的式子：

$$\bra q\ket{p} = e^{ipq/\hbar}$