Zeige das Wurzel 2 irrational ist

Wir verwenden eine Beweistechnik namens "Beweis durch Widerspruch".

Angenommen, Wurzel 2 wäre rational, d.h. es gäbe ganze Zahlen a und b mit a/b in gekürzter Form und Wurzel 2 = a/b.

Dann können wir beide Seiten quadrieren und erhalten:

2 = (a/b)^2 2b^2 = a^2

Da a^2 gerade ist, muss auch a gerade sein (denn das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade und das Quadrat einer geraden Zahl ist gerade). Also gibt es eine ganze Zahl k, sodass a = 2k.

Dann können wir diese Gleichung in die obige Formel einsetzen:

2b^2 = (2k)^2 2b^2 = 4k^2 b^2 = 2k^2

Da auch b^2 gerade ist, muss b gerade sein. Aber das widerspricht unserer Annahme, dass a/b in gekürzter Form ist. Wenn sowohl a als auch b durch 2 teilbar sind, können wir sie noch weiter kürzen und erhalten eine andere Bruchform, die ebenfalls Wurzel 2 ergibt. Dieser Prozess würde unendlich fortgesetzt werden, was bedeutet, dass Wurzel 2 nicht als Bruch dargestellt werden kann. Daher ist Wurzel 2 irrational