给出了四川省 18 个地级市、3 个自治州及其医院的经纬度位置坐标在四川省境内确定一个地点使得该地点到其它各个城市的飞行总距离之和最短并且画出坐标图求出最短距离和该地点坐标。数学建模matlab

数据处理

首先，将给出的地级市和自治州的经纬度位置坐标导入到 MATLAB 中。假设它们分别存储在两个矩阵 city 和 autonomous 中，每行代表一个城市或自治州，第一列为经度，第二列为纬度。

然后，将所有城市和自治州的坐标合并到一个矩阵 coord 中，便于后续计算。MATLAB 中可以使用 vertcat 函数将两个矩阵按垂直方向合并。

city = [longitude1, latitude1; longitude2, latitude2; ...];
autonomous = [longitude1, latitude1; longitude2, latitude2; ...];
coord = vertcat(city, autonomous);

接下来，定义一个函数 distance，用于计算两个坐标点之间的距离。假设两个坐标点的经纬度分别为 (lon1, lat1) 和 (lon2, lat2)，则它们之间的距离可以用以下公式计算：

$$d = 2 R \arcsin \sqrt{\sin^2 \frac{\Delta \varphi}{2} + \cos \varphi_1 \cos \varphi_2 \sin^2 \frac{\Delta \lambda}{2}}$$

其中，$R$ 表示地球半径，取值约为 $6371$ 千米；$\varphi_1, \varphi_2$ 分别表示两个坐标点的纬度，$\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1$；$\lambda_1, \lambda_2$ 分别表示两个坐标点的经度，$\Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1$。

MATLAB 中，可以使用 deg2rad 函数将角度转换为弧度，使用 acos 函数计算反余弦值，使用 sin 和 cos 函数计算正弦和余弦值。定义如下：

function d = distance(coord1, coord2)
    R = 6371; % 地球半径
    lon1 = deg2rad(coord1(1));
    lat1 = deg2rad(coord1(2));
    lon2 = deg2rad(coord2(1));
    lat2 = deg2rad(coord2(2));
    dphi = lat2 - lat1;
    dlambda = lon2 - lon1;
    a = sin(dphi/2)^2 + cos(lat1) * cos(lat2) * sin(dlambda/2)^2;
    c = 2 * atan2(sqrt(a), sqrt(1-a));
    d = R * c; % 两点距离，单位为千米
end

模型建立

假设我们要在四川省内选择一个地点，使得该地点到其它各个城市的飞行总距离之和最短。我们可以将该问题建模为一个最小化目标函数的问题：

$$\min_{p} \sum_{i=1}^{n} d(p, c_i)$$

其中，$p$ 表示选择的地点，$c_i$ 表示第 $i$ 个城市或自治州的坐标，$d(p, c_i)$ 表示地点 $p$ 到城市 $c_i$ 的距离。

目标函数表示为所有城市到地点的距离之和，即飞行总距离。我们的目标是选择一个地点 $p$，使得飞行总距离最短。

模型求解

我们可以使用 MATLAB 中的优化工具箱 optim 中的函数 fminsearch 求解该最小化目标函数的问题。

该函数需要一个输入参数，即一个函数句柄，指向一个计算目标函数值的函数。我们可以定义一个函数 objfun，它的输入参数是选择的地点 $p$，输出参数是目标函数值。

function f = objfun(p)
    n = size(coord, 1);
    dsum = 0;
    for i = 1:n
        dsum = dsum + distance(p, coord(i,:));
    end
    f = dsum;
end

其中，coord 表示所有城市和自治州的坐标，distance 表示两个坐标点之间的距离。

然后，我们可以调用 fminsearch 函数求解最小化目标函数的问题。该函数需要两个输入参数，一个是目标函数的句柄，另一个是待优化的初始值。

我们可以将初始值设置为四川省的中心位置，即所有城市和自治州坐标的平均值。MATLAB 中，可以使用 mean 函数计算平均值。

initial = mean(coord, 1);
p = fminsearch(@objfun, initial);

最后，我们得到了选择的地点 $p$，以及飞行总距离。我们可以使用 MATLAB 中的 scatter 函数将所有城市和自治州的坐标以及选择的地点在坐标图上绘制出来。

figure
hold on
scatter(coord(:,1), coord(:,2), 'b')
scatter(p(1), p(2), 'r', 'filled')
xlabel('Longitude')
ylabel('Latitude')
title(['Total distance: ', num2str(objfun(p)), ' km'])

完整代码如下