对于方程组首先检查的系数全为零那么方程组对没有任何限制就可以取任意值而方程组可以看作的方程组来解如果的系数不全为零那么利用初等变换可以设利用初等变换分别把第一个方程的倍加到第个方程于是方程组就变成 其中 这样解方程组的问题就归结为解方程组 的问题显然的一个解代入的第一个方程就定出的值这就得出的一个解；而的解显然都是的解这就是说方程组有解的充分必要条件为方程组有解而与是同解的因之方程组有解的充分必要
，如果在初等变换的过程中，得到一个矛盾的方程（如0=1），那么原方程组无解。因为不存在任何一个数可以同时满足这个矛盾式和其他方程式。所以，我们可以利用初等变换把方程组化为阶梯形式，然后判断是否存在矛盾式来确定方程组是否有解。如果不存在矛盾式，那么方程组有解，且解的个数可以通过阶梯形式的系数矩阵来确定。
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