证明inf Sn= - lim sup-Sn

首先，我们知道对于任意的实数序列(a_n)，有以下两个性质：

1. inf(a_n) = -sup(-a_n)

2. lim sup(a_n) = -lim inf(-a_n)

现在我们考虑将这两个性质应用到(S_n)上。

根据定义，我们有：

inf(S_n) ≤ S_n

-S_n ≤ sup(-S_n)

将第二个不等式两边乘以-1，得到：

S_n ≤ -inf(-S_n)

将第一个不等式和第二个不等式相加，得到：

inf(S_n) - sup(-S_n) ≤ S_n - S_n = 0

因此，

inf(S_n) ≤ sup(-S_n)

现在我们需要证明：

inf(S_n) = -lim sup(-S_n)

为了证明这个等式，我们需要证明两个不等式：

1. inf(S_n) ≥ -lim sup(-S_n)

假设lim sup(-S_n) = L，那么根据定义，对于任意的ε > 0，存在N > 0，使得n > N时，有：

-S_n ≤ L + ε

取ε = -inf(S_n)，则有：

-S_n ≤ L - inf(S_n)

移项得到：

inf(S_n) ≤ -L + S_n

由于L是lim sup(-S_n)，所以对于任意的ε > 0，存在N > 0，使得n > N时，有：

-S_n ≥ L - ε

取ε = inf(S_n)，则有：

-S_n ≥ L - inf(S_n)

移项得到：

inf(S_n) ≥ -L + S_n

综上所述，我们有：

-L + S_n ≤ inf(S_n) ≤ -L + S_n

因此，

inf(S_n) = -lim sup(-S_n)

证毕