设sn是正数的递增序列并定义On=1nS1+S2+…+Sn。ProveOn是一个递增序列。

首先，我们可以将On表示为On=(1/n)(S1+S2+...+Sn)=(1/n)(On-1*n+(Sn-Sn-1)+(Sn-1-Sn-2)+...+(S2-S1)+S1)，其中On-1表示前n-1项的均值。

因为（sn）是递增序列，所以对于任意的i≥2，有Si≥Si-1。因此，对于任意的i≥2，有Si-Si-1≥0。因此，对于任意的i≥2，有：

On-1n+(Sn-Sn-1)+(Sn-1-Sn-2)+...+(S2-S1)+S1≥On-1n

将其代入On的定义式中，得到：

On=(1/n)(On-1n+(Sn-Sn-1)+(Sn-1-Sn-2)+...+(S2-S1)+S1)≥(1/n)On-1n=On-1

因此，On是一个递增序列。证毕。