a 设Sn是一个序列使得对于所有nENISn+1-Sn2^-n。证明Sn是一个柯西序列因此是一个收敛序列。b 如果我们只假设所有的ISn+1-snl†那么a中的结果是真的吗嫩？

(a) 要证明（Sn）是一个柯西序列，需要证明对于任意正数ε，存在正整数N，使得当m,n>N时，|Sm-Sn|<ε成立。 根据题意，对于任意正整数k，有|Sk+1-Sk|<2^-k。那么对于任意正整数n>m>N，可以得到： |Sm-Sn|=|(Sm-Sm+1)+(Sm+1-Sm+2)+...+(Sn-1-Sn)|≤|Sm-Sm+1|+|Sm+1-Sm+2|+...+|Sn-1-Sn|<2^-m+2^-(m+1)+...+2^-(n-1) =2^-m(1+2^-1+...+2^(n-m-1))<2^-m(2^(n-m))=2^-m+n-m-1 因为n>m>N，所以n-m-1>N-m-1，所以2^-m+n-m-1<2^-m+2^(N-m)=2^-m(1+2^(N-m))≤2^(1-N)。 因此，只要选择N>log2(1/ε)，就可以保证当m,n>N时，|Sm-Sn|<ε。因此，（Sn）是一个柯西序列，也是一个收敛序列。

(b) 不是。举个反例，考虑序列Sn=1+1/2+1/3+...+1/n。根据调和级数的性质，可以得到Sn-Sm=1/(m+1)+1/(m+2)+...+1/n>1/n+1/n+...+1/n=(n-m)/n。因此，对于任意ε>0，选择N>1/ε即可保证当n>m>N时，|Sn-Sm|<ε。但是，这个序列并不是收敛的，因为它的极限是无穷大