3的n次方除以5的n次方乘n的阶乘的级数的和

我们可以将3的n次方除以（5的n次方乘n的阶乘）的级数的和表示为：

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^n n!}$$

首先，我们可以将分母中的n!展开，得到：

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^n \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}$$

然后，我们可以将分子中的3^n写成3乘以3的n-1次方，得到：

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{5^n \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n} \cdot \frac{3^{n-1}}{1}$$

这样，我们就将原式拆分成两个级数的乘积，分别为：

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{5^n \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}$$

和

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n-1}}{1}$$

第一个级数可以通过泰勒展开公式来求解，具体地，我们有：

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

将x取为-5/3，就可以得到：

$$e^{-5/3} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-5/3)^n}{n!}$$

将上式两边乘以3/5，并将n从0到无穷大改为从1到无穷大，得到：

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{5^n \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n} = \frac{3}{5} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-5/3)^{n}}{(n+1)!} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{e^{5/3}}$$

第二个级数可以直接求和，得到：

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n-1}}{1} = \frac{3^0}{1} + \frac{3^1}{1} + \frac{3^2}{1} + \cdots = \frac{1}{1-3} = -\frac{1}{2}$$

因此，原式的值为：

$$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{e^{5/3}} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{10e^{5/3}}$$

因此，3的n次方除以（5的n次方乘n的阶乘）的级数的和等于$-\frac{3}{10e^{5/3}}$