设 a=01e01 b=19 c=−ln⁡09 用构造函数比较他们的大小

我们可以定义一个构造函数 $f(x)$，使得 $f(a) < f(b) < f(c)$。

考虑 $f(x) = \ln(\frac{1}{1-x})$，则有：

$$f'(x) = \frac{1}{1-x}$$

因此 $f(x)$ 在 $[0, 1)$ 上单调递增。又有：

$$\begin{aligned} f(a) &= \ln(\frac{1}{1-0.1e^{0.1}}) \ &= \ln(\frac{1}{1-0.110517}}) \ &= \ln(\frac{1}{0.889483}) \ &= \ln(1.123368) \ &= 0.117783 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} f(b) &= \ln(\frac{1}{1-\frac{1}{9}}) \ &= \ln(\frac{1}{\frac{8}{9}}) \ &= \ln(1.125) \ &= 0.117783 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} f(c) &= \ln(\frac{1}{1-0.9}) \ &= \ln(\frac{1}{0.1}) \ &= \ln(10) \ &= 2.302585 \end{aligned}$$

因此，$f(a) < f(b) < f(c)$，即 $a < b < c$