sinx的平方的麦克劳林级数

我们有： $$(\sin x)^2 = \left(\frac{\sin x}{x}\cdot x\right)^2 = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot x^2$$

因此，我们需要知道$\frac{\sin x}{x}$的麦克劳林级数。根据麦克劳林级数的定义，我们有：

$$\frac{\sin x}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n}$$

于是，我们可以得到：

$$(\sin x)^2 = \left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n}\right)^2 \cdot x^2$$

展开平方，我们可以得到：

$$(\sin x)^2 = \left(\frac{1}{1!}\cdot x^0 - \frac{1}{3!}\cdot x^2 + \frac{1}{5!}\cdot x^4 - \frac{1}{7!}\cdot x^6 + \cdots\right) \cdot \left(\frac{1}{1!}\cdot x^0 - \frac{1}{3!}\cdot x^2 + \frac{1}{5!}\cdot x^4 - \frac{1}{7!}\cdot x^6 + \cdots\right) \cdot x^2$$

我们可以将$x^2$提出来，并将每一项展开相乘，得到：

$$(\sin x)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \frac{x^8}{315} + \cdots$$

因此，$(\sin x)^2$的麦克劳林级数为：

$$\boxed{x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \frac{x^8}{315} + \cdots}$