x乘arctanx的麦克劳林级数

我们可以使用泰勒公式将函数x乘arctanx展开成麦克劳林级数。首先，我们需要计算函数在x=0处的各阶导数。有：

f(x) = x * arctan(x) f'(x) = arctan(x) + x / (1 + x^2) f''(x) = (2x^3 + 3x) / (1 + x^2)^2 + 1 / (1 + x^2) f'''(x) = (6x^4 + 12x^2 - 3) / (1 + x^2)^3 + (6x^2) / (1 + x^2)^2

接下来，我们可以使用泰勒公式：

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ...

将上面的各阶导数代入公式中，得到：

f(x) = 0 + x * arctan(0) + x^2/2 * (1/2) + x^3/3 * (0) + x^4/4 * (-1/6) + ...

化简得到：

f(x) = x^2/4 - x^4/24 + x^6/96 - x^8/640 + ...

因此，x乘arctanx的麦克劳林级数为：

x^2/4 - x^4/24 + x^6/96 - x^8/640 + ..