高斯求积公式性质以及相应的结论和证明

高斯求积公式是指在区间$[-1,1]$上，对于任意的$n$，存在唯一的$n+1$个节点$x_0,x_1,\cdots,x_n$和对应的权重$w_0,w_1,\cdots,w_n$，使得对于任意次数不超过$2n+1$的多项式$f(x)$，有如下的求积公式成立：

$$ \int_{-1}^1f(x)dx\approx\sum_{i=0}^nw_if(x_i) $$

其中，$w_i$称为权重，$x_i$称为节点。

高斯求积公式的性质和结论如下：

高斯求积公式在给定区间上是精确的，即对于任意次数不超过$2n+1$的多项式$f(x)$，有$\int_{-1}^1f(x)dx=\sum_{i=0}^nw_if(x_i)$。

证明：设$g(x)=\int_{-1}^1f(x)dx-\sum_{i=0}^nw_if(x_i)$，则$g(x)$是一个次数不超过$2n+1$的多项式，且$g(x_i)=0$，因此$g(x)$有$n+1$个根。由于次数不超过$2n+1$，因此$g(x)$最多有$2n+1$个根，因此$g(x)$是一个恒等于$0$的多项式，即$\int_{-1}^1f(x)dx=\sum_{i=0}^nw_if(x_i)$。

高斯求积公式的节点和权重是唯一的。

证明：设另有一组节点和权重$x_i',w_i'$也满足求积公式成立，则对于任意次数不超过$4n+1$的多项式$f(x)$，有：

$$ \begin{aligned} &\int_{-1}^1f(x)dx=\sum_{i=0}^nw_if(x_i)\ &\int_{-1}^1f(x)dx=\sum_{i=0}^nw_i'f(x_i') \end{aligned} $$

令$g(x)=\int_{-1}^1f(x)dx-\sum_{i=0}^nw_if(x_i)$，$h(x)=\int_{-1}^1f(x)dx-\sum_{i=0}^nw_i'f(x_i')$，则$g(x)$和$h(x)$都是次数不超过$4n+1$的多项式，且$g(x_i)=h(x_i)=0$。因此，$g(x)$和$h(x)$的差也是一个次数不超过$4n+1$的多项式，且有$4n+2$个根，因此它必须是恒等于$0$的多项式，即$x_i=x_i'$且$w_i=w_i'$。

高斯求积公式的节点是对称的。

证明：设$x_i$和$x_j$是高斯求积公式的节点，且$x_i\neq x_j$，则考虑多项式$f(x)=(x-x_i)(x-x_j)$，它是一个次数为$2$的多项式，且有$\int_{-1}^1f(x)dx=0$。根据求积公式，有：

$$ \int_{-1}^1f(x)dx=\sum_{k=0}^nw_k(x_k-x_i)(x_k-x_j) $$

由于$x_i$和$x_j$都是节点，因此$(x_k-x_i)(x_k-x_j)$在$k=i$或$k=j$时为$0$，因此上式右边只有两项不为$0$，即：

$$ \int_{-1}^1f(x)dx=w_if(x_i)+w_jf(x_j) $$

又因为$f(x)$的系数是正的，因此$w_i$和$w_j$必须同号。又由于$f(x)$在$x=\frac{x_i+x_j}{2}$处取得最大值，因此$w_i=w_j$，即$x_i$和$x_j$对称。

高斯求积公式的权重是正的。

证明：设$w_i<0$，则考虑多项式$f(x)=x-x_i$，它是一个次数为$1$的多项式，且有$\int_{-1}^1f(x)dx=0$。根据求积公式，有：

$$ \int_{-1}^1f(x)dx=\sum_{k=0}^nw_k(x_k-x_i) $$

由于$x_i$是节点，因此$(x_k-x_i)$在$k=i$时为$0$，而在$k\neq i$时为非零实数，因此上式右边只有一项不为$0$，即：

$$ \int_{-1}^1f(x)dx=w_if(x_i)<0 $$

这与$\int_{-1}^1f(x)dx=0$矛盾，因此$w_i>0$。

综上所述，高斯求积公式具有精确性、唯一性、对称性和正性等重要性质