对于2点链的情况给出格林函数G12的表达式详细

推导过程如下：

首先，根据定义，2点格林函数G12表示在点1和点2之间放置一个单位源时，在无穷远处的响应。即：

$$G_{12} = \lim_{|\mathbf{r}| \rightarrow \infty} G(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2)$$

其中，$\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2$。

其次，根据泊松方程和格林函数的定义，有：

$$\nabla^2 G(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = -\frac{1}{\epsilon_0} \delta(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)$$

其中，$\epsilon_0$为真空介电常数。在2点链的情况下，我们可以假设点1和点2分别位于$z=0$和$z=d$的平面上。

考虑到坐标系的对称性，我们可以将问题转化为求解垂直于平面的分量$G_z$。因此，我们有：

$$\frac{\partial^2 G_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 G_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 G_z}{\partial z^2} = -\frac{1}{\epsilon_0} \delta(x)\delta(y)\delta(z-d)$$

根据问题的对称性，我们可以假设$G_z$具有形式$G_z(x,y,z) = G(z)\sin(kx)\sin(ky)$，其中$k$为任意常数。代入上式得到：

$$\frac{d^2 G}{dz^2} - k^2 G = -\frac{1}{\epsilon_0} \delta(z-d)$$

根据边界条件$G(0) = G(d) = 0$，我们可以解得$G(z)$的形式：

$$G(z) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{\sqrt{z(d-z)}}$$

将其代入$G_{12}$的定义式，得到：

$$G_{12} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \lim_{|\mathbf{r}| \rightarrow \infty} \frac{1}{|\mathbf{r}|} \frac{1}{\sqrt{z(d-z)}}$$

在无穷远处，$|\mathbf{r}| \rightarrow \infty$，$z$也趋近于无穷远，因此可以将$\sqrt{z(d-z)}$近似为$zd$，得到：

$$G_{12} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \lim_{|\mathbf{r}| \rightarrow \infty} \frac{1}{|\mathbf{r}|} \frac{1}{zd} = 0$$

因此，在2点链的情况下，格林函数$G_{12}$为0