用mathematic计算n+1个格点链的格林函数矩阵元

假设我们有一个长度为$n+1$的格点链，其中第$i$个格点的坐标为$(x_i, y_i)$。我们需要计算这个格点链的格林函数矩阵元。

首先，我们需要定义格林函数。在二维平面上，格林函数$G(x,y;x',y')$表示从点$(x',y')$出发，经过格点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$，最终到达点$(x,y)$的概率。格林函数矩阵元$G_{ij}=G(x_i,y_i;x_j,y_j)$表示从格点$(x_j,y_j)$出发，最终到达格点$(x_i,y_i)$的概率。

格林函数的计算可以使用离散化的方法。我们可以将二维平面划分成一个个正方形格子，并将每个格点看作一个离散化的点。我们假设每个格子的边长为$h$，则格点$(x_i,y_i)$的坐标可以表示为$(i\cdot h,j\cdot h)$。此时，格林函数可以表示为：

$G_{ij}=\frac{1}{4}\left[G_{i+1,j}+G_{i-1,j}+G_{i,j+1}+G_{i,j-1}\right]$

这个式子的含义是，从格点$(x_j,y_j)$出发，到达格点$(x_i,y_i)$的概率等于从格点$(x_{j+1},y_j)$、$(x_{j-1},y_j)$、$(x_j,y_{j+1})$、$(x_j,y_{j-1})$出发，到达格点$(x_i,y_i)$的概率之和的四分之一。这个式子的推导可以参考离散化的教材或论文。

我们可以使用这个式子递推计算格林函数矩阵元。首先，我们需要初始化边界条件，即$G_{i,i}=1$，$G_{i,i+1}=G_{i+1,i}=\frac{1}{4}$。然后，我们可以使用上述式子递推计算其他矩阵元，直到计算出$G_{n+1,i}$为止。最终，格林函数矩阵就是$G_{ij}$，其中$1\leq i,j\leq n+1$。

下面是用Mathematica实现这个计算的代码：

n = 5; (* 格点链长度 ) h = 1; ( 格子边长 ) G = Table[0, {i, n + 1}, {j, n + 1}]; ( 初始化矩阵 ) G[[1, 1]] = 1; ( 边界条件 ) G[[1, 2]] = G[[2, 1]] = 1/4; ( 边界条件 ) For[i = 2, i <= n + 1, i++, G[[i, i]] = 1; ( 边界条件 ) G[[i, i + 1]] = G[[i + 1, i]] = 1/4; ( 边界条件 ) For[j = i + 1, j <= n + 1, j++, G[[i, j]] = G[[j, i]] = 1/4 (G[[i + 1, j]] + G[[i - 1, j]] + G[[i, j + 1]] + G[[i, j - 1]]); ]; ] G // MatrixForm ( 输出矩阵 *