矩阵行列式为零的判定：元素与余子式乘积之和

当矩阵A的某个元素与对应的余子式的乘积之和等于0时，表示该矩阵的行列式为0。这是由于行列式的性质决定的。

具体而言，对于一个n阶矩阵A，其行列式的展开式为： |A| = a[1][1] * M[1][1] - a[1][2] * M[1][2] + a[1][3] * M[1][3] - ... + (-1)^(n+1) * a[1][n] * M[1][n]

其中，a[1][1]、a[1][2]、a[1][3]等表示矩阵A的第1行的元素，而M[1][1]、M[1][2]、M[1][3]等表示对应元素的余子式。

如果矩阵A的行列式为0，则根据行列式的定义，展开式中的各项相加之和必须为0。即： a[1][1] * M[1][1] - a[1][2] * M[1][2] + a[1][3] * M[1][3] - ... + (-1)^(n+1) * a[1][n] * M[1][n] = 0

这表示矩阵A的元素与对应的余子式的乘积之和等于0。这个性质被称为行列式的性质之一，也是行列式为0的重要特征。

因此，当矩阵A的元素与对应的余子式的乘积之和等于0时，可以得出结论：|A| = 0，即矩阵A的行列式为0。