有300元钱需要兑换成零钱零钱有10元5元1元三种面额要求每种面额都是偶数张请问有多少种兑换方法?
设10元的张数为a,5元的张数为b,1元的张数为c,则问题转化为求a、b、c的取值范围,使得:
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a+b+c ≤ 30(总张数不超过30张,因为300÷1=300,最多只需要300张1元)
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10a+5b+c = 300(总金额为300元)
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a、b、c都是偶数
对于第三个条件,可以将a、b、c分别取偶数和奇数两种情况,然后再将其组合起来即可。
当a取偶数时,有a ∈ {0, 2, 4, 6, 8, 10}
当a取奇数时,有a ∈ {1, 3, 5, 7, 9}
同理,对于b和c也有两种情况:
当b取偶数时,有b ∈ {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
当b取奇数时,有b ∈ {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
当c取偶数时,有c ∈ {0, 2, 4, ..., 60, 62, 64, 66, 68, 70}
当c取奇数时,有c ∈ {1, 3, 5, ..., 59, 61, 63, 65, 67, 69}
将a、b、c的取值范围代入前两个条件中,可得:
当a和b都取偶数时,有0 ≤ c ≤ 60,共61种情况。
当a和b都取奇数时,有1 ≤ c ≤ 59,共60种情况。
当a取偶数,b取奇数时,有0 ≤ c ≤ 60,共60种情况。
当a取奇数,b取偶数时,有1 ≤ c ≤ 59,共60种情况。
因此,总共有61+60+60+60=241种兑换方法
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