等差数列的数学归纳法证明

等差数列的数学归纳法证明

本文将使用数学归纳法证明等差数列的性质。

目标： 证明一个数列 {a_n} 是一个等差数列，其中 a_1 是首项，d 是公差。

证明：

第一步：基本情况

当 n = 1 时，数列中只有一个项 a_1，它与自身相等，符合等差数列的定义。

第二步：归纳假设

假设当 n = k 时，数列成立，即 a_k = a_1 + (k - 1) * d。

第三步：归纳步骤

我们需要证明当 n = k + 1 时也成立，即 a_(k+1) = a_1 + k * d。

根据等差数列的定义，a_(k+1) = a_k + d。

根据归纳假设，我们可以将 a_k 替换为 a_1 + (k - 1) * d，得到：

a_(k+1) = (a_1 + (k - 1) * d) + d。

化简得到：

a_(k+1) = a_1 + k * d

这与我们需要证明的结果一致，因此等差数列在 n = k + 1 时仍然成立。

结论：

根据数学归纳法，我们可以证明等差数列 {a_n} 在任意正整数 n 下都成立。