$H = -tsum_ i = 1^N - 1 c_i^dagger c_ i + 1 + c_ i + 1^dagger c_i + epsilonsum_ i = 1^N c_i^dagger c_i$怎么写成矩阵

我们可以首先将 $c_i$ 和 $c_i^{\dagger}$ 表示成矩阵形式，假设有 $N$ 个粒子，则：

$$ c_i = \begin{pmatrix}0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}^T $$

其中，第 $i$ 个位置为 $1$，其余为 $0$。而 $c_i^{\dagger}$ 就是 $c_i$ 的厄米共轭，即：

$$ c_i^{\dagger} = \begin{pmatrix}0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix} $$

我们可以将 $c_i$ 和 $c_i^{\dagger}$ 矩阵按列排列，得到一个 $N\times N$ 的矩阵：

$$ C = \begin{pmatrix}c_1 & c_2 & \cdots & c_N\end{pmatrix} $$

则：

$$ C^{\dagger} = \begin{pmatrix}c_1^{\dagger} \ c_2^{\dagger} \ \vdots \ c_N^{\dagger}\end{pmatrix} $$

接下来，我们可以将 $H$ 写成矩阵形式：

$$ H = -t\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ 1 & 0 & 1 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix} + \epsilon\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix} $$

其中，第一项表示紧束缚模型的跃迁项，第二项表示每个粒子的能量项