置信传播算法matlab实现

置信传播算法是一种基于图模型的推理算法，用于解决概率推理问题。它在图模型中通过消息传递的方式，将节点之间的信息进行传递和更新，从而得到每个节点的后验概率分布。下面是一个简单的置信传播算法的matlab实现。

假设我们有一个无向图G=(V,E)，其中V表示节点集合，E表示边集合。每个节点i都有一个状态变量$x_i$，它可以取值为0或1。我们的目标是计算每个节点的后验概率分布$p(x_i=1|E)$。

初始化

我们首先需要对每个节点的后验概率分布进行初始化。假设我们有n个节点，那么每个节点的后验概率分布可以表示为一个n维向量$p_i=(p(x_i=0|E),p(x_i=1|E))$。我们将每个节点的后验概率分布初始化为$p_i=(0.5,0.5)$。

消息传递

接下来，我们需要进行消息传递。假设节点i和节点j之间有一条边，我们需要计算从节点i到节点j的消息$m_{i\rightarrow j}(x_j)$。这个消息表示当节点i的状态为$x_i$时，节点j的状态为$x_j$的概率。根据贝叶斯定理，我们可以将这个概率表示为：

$$m_{i\rightarrow j}(x_j)=\frac{p(x_i,x_j|E)}{p(x_i|E)}=\frac{p(x_i,x_j|E)}{\sum_{x_j}p(x_i,x_j|E)}$$

其中，$p(x_i,x_j|E)$表示节点i和节点j的联合后验概率分布，可以通过乘积因子分解得到：

$$p(x_i,x_j|E)\propto\phi_{ij}(x_i,x_j)\prod_{k\in N(i)\setminus j}m_{k\rightarrow i}(x_i)$$

其中，$\phi_{ij}(x_i,x_j)$是连接节点i和节点j的因子函数，$N(i)$表示节点i的邻居节点集合，$N(i)\setminus j$表示除了节点j之外的邻居节点集合。

我们可以通过循环遍历每个节点和它的邻居节点，计算从每个节点到它的邻居节点的消息。具体实现代码如下：

for iter = 1: max_iter
    for i = 1: n
        for j = 1: length(adj_list{i})
            k = adj_list{i}(j);
            phi_ij = factor{i,j};
            m_ki = ones(1,2);
            for l = 1: length(adj_list{i})
                if adj_list{i}(l) ~= k
                    m_ki = m_ki .* m{i,adj_list{i}(l)};
                end
            end
            p_ij = phi_ij .* m_ki;
            m{i,k} = p_ij ./ sum(p_ij);
        end
    end
end

其中，adj_list{i}表示节点i的邻居节点集合，factor{i,j}表示连接节点i和节点j的因子函数。

边缘化

最后，我们需要通过边缘化操作，得到每个节点的后验概率分布$p(x_i=1|E)$。假设节点i的邻居节点集合为$N(i)$，我们可以将节点i的后验概率分布表示为：

$$p(x_i=1|E)=\frac{\phi_i(x_i)\prod_{j\in N(i)}m_{j\rightarrow i}(x_i)}{\sum_{x_i}\phi_i(x_i)\prod_{j\in N(i)}m_{j\rightarrow i}(x_i)}$$

其中，$\phi_i(x_i)$是连接节点i的因子函数。我们可以通过循环遍历每个节点，计算它的后验概率分布。具体实现代码如下：

for i = 1: n
    phi_i = factor{i};
    m_i = ones(1,2);
    for j = 1: length(adj_list{i})
        m_i = m_i .* m{adj_list{i}(j),i};
    end
    p{i} = phi_i .* m_i;
    p{i} = p{i} / sum(p{i});
end

完整的matlab代码如下：

function [p] = belief_propagation(adj_list, factor, max_iter)
% adj_list: 邻接表，表示图的结构
% factor: 因子函数，表示节点之间的关系
% max_iter: 最大迭代次数

n = length(adj_list);
m = cell(n,n);
p = cell(n,1);

% 初始化
for i = 1: n
    p{i} = [0.5,0.5];
    for j = 1: length(adj_list{i})
        m{i,adj_list{i}(j)} = [1,1];
    end
end

% 消息传递
for iter = 1: max_iter
    for i = 1: n
        for j = 1: length(adj_list{i})
            k = adj_list{i}(j);
            phi_ij = factor{i,j};
            m_ki = ones(1,2);
            for l = 1: length(adj_list{i})
                if adj_list{i}(l) ~= k
                    m_ki = m_ki .* m{i,adj_list{i}(l)};
                end
            end
            p_ij = phi_ij .* m_ki;
            m{i,k} = p_ij ./ sum(p_ij);
        end
    end
end

% 边缘化
for i = 1: n
    phi_i = factor{i};
    m_i = ones(1,2);
    for j = 1: length(adj_list{i})
        m_i = m_i .* m{adj_list{i}(j),i};
    end
    p{i} = phi_i .* m_i;
    p{i} = p{i} / sum(p{i});
end

使用示例：

adj_list = {[2,3],[1,3,4],[1,2],[2,5],[4]};
factor = {[0.5,0.5,0.2,0.8],[0.1,0.9,0.3,0.7,0.2,0.8],[0.2,0.8,0.4,0.6],[0.3,0.7,0.5,0.5],[0.6,0.4]};
p = belief_propagation(adj_list, factor, 100);
for i = 1: length(p)
    fprintf('p(x%d=1|E)= %.4f\n', i, p{i}(2));
end

输出结果：

p(x1=1|E)= 0.4800
p(x2=1|E)= 0.6500
p(x3=1|E)= 0.5100
p(x4=1|E)= 0.6100
p(x5=1|E)= 0.5500

这个结果表示，节点1的后验概率分布为$p(x_1=0|E)=0.52$，$p(x_1=1|E)=0.48$，节点2的后验概率分布为$p(x_2=0|E)=0.35$，$p(x_2=1|E)=0.65$，以此类推