基于调和映射的贴体网格生成方法详解

基于调和映射的贴体网格生成方法详解在微分方程数值模拟中，处理不规则物理边界常常是一个难题。为了获得高质量的贴体网格，一种常用的方法是采用映射策略，即将网格生成过程视为从计算区域到物理区域的保边界变换。该变换需要满足一一对应和光滑性的要求。### 1. 数学原理设 $D //in R^n$ 为 n 维空间中的有界物理区域，$C //in R^n$ 为 n 维空间中与之对应的计算区域，两者之间的网格映射为 $x: C //rightarrow D$，其中：$x = x(ξ) = (x_1(ξ), /cdots, x_n(ξ))$, $ξ = ξ(x) = (ξ_1(x), /cdots, ξ_n(x))$采用 Einstein 求和约定，定义如下变量：- 协变基向量: $g_i = //partial_i x$, $i = 1, /cdots, n$- 协变度量张量分量: $g_{ij} = (g_i, g_j)$, $i, j = 1, /cdots, n$- 协变度量张量的行列式: $g = det(g_{ij})$- 逆变基向量: $g^i = //partial_i ξ$, $i = 1, /cdots, n$为保证生成的高阶网格不发生缠绕，要求计算网格是调和的，即：$//triangle_x ξ_j = 0$, $j = 1, /cdots, n$由此得到物理区域的网格满足 Winslow 方程：$g^{ij} //partial_i //partial_j x_k = 0$, $k = 1, /cdots, n$其中 $g^{ij}$ 为逆变度量张量分量，满足 $g^{ij} g_{jk} = //delta_{ik}$。**二维平面网格的特殊情况:**当 $n = 2$ 时，即生成二维平面网格，计算网格应满足：$(//partial^2 ξ) / (//partial x^2) + (//partial^2 ξ) / (//partial y^2) = 0$$(//partial^2 η) / (//partial x^2) + (//partial^2 η) / (//partial y^2) = 0$相应地，物理区域的网格满足：$g^{11} (//partial^2 x) / (//partial ξ^2) + g^{12} (//partial^2 x) / (//partial η //partial ξ) + g^{21} (//partial^2 x) / (//partial ξ //partial η) + g^{22} (//partial^2 x) / (//partial^2 η) = 0$$g^{11} (//partial^2 y) / (//partial ξ^2) + g^{12} (//partial^2 y) / (//partial η //partial ξ) + g^{21} (//partial^2 y) / (//partial ξ //partial η) + g^{22} (//partial^2 y) / (//partial^2 η) = 0$### 2. 生成单位圆和椭圆所围区域的网格利用上述方法，我们可以生成单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 与椭圆 $x^2 / 4 + y^2 / 9 = 1$ 在上半平面所围区域的结构化四边形网格。步骤如下：1. 定义计算区域 C 和物理区域 D: - 计算区域 C：选择上半平面，表示为 $C = //{ (x, y) | x //in (-//infty, //infty), y > 0 //}$。 - 物理区域 D：表示为 $D = //{ (x, y) | x^2 + y^2 //leq 1 或 x^2 / 4 + y^2 / 9 //leq 1 //}$。2. 定义映射函数 x(ξ): - 选择映射函数 $x(ξ) = (ξ_1, //sqrt{(1 - ξ_1^2)})$，其中 $ξ = (ξ_1, ξ_2)$ 是计算区域 C 中的坐标，$x = (x_1, x_2)$ 是物理区域 D 中的坐标。3. 计算协变基向量 $g_i$ 和协变度量张量分量 $g_{ij}$: - 根据 $x(ξ)$ 计算 $g_i = //partial_i x$, $i = 1, 2$。 - 根据协变基向量计算 $g_{ij} = (g_i, g_j)$, $i, j = 1, 2$。4. 计算逆变基向量 $g^i$ 和逆变度量张量分量 $g^{ij}$: - 根据 $g_{ij}$ 计算协变度量张量的行列式 $g = det(g_{ij})$。 - 计算逆变度量张量分量 $g^{ij}$，满足 $g^{ij} g_{jk} = //delta_{ik}$。5. 构建并求解 Winslow 方程: - 使用有限差分法或有限元法等数值方法求解 Winslow 方程，得到计算区域 C 上的 $x$ 和 $y$ 的网格点坐标。6. 绘制结构化四边形网格: - 利用生成的 $x$ 和 $y$ 的网格点坐标，绘制结构化四边形网格。需要注意的是，实际生成结构化四边形网格的过程可能涉及更多细节和数值计算步骤，需要使用专业的数值计算软件或编程语言实现。### 3. 总结基于调和映射的贴体网格生成方法是一种有效生成高质量贴体网格的方法，可以应用于处理各种复杂边界形状。通过选择合适的映射函数和数值计算方法，可以生成满足精度要求的计算网格，为数值模拟提供基础。