绕x轴旋转圆: 计算旋转后的圆方程

绕x轴旋转圆：计算旋转后的圆方程

假设在空间坐标系 xy 平面上有一个圆心位于原点 (0, 0)，半径为 100 的圆。如果我们将该圆绕 x 轴逆时针旋转 15 度，如何找到旋转后的圆的方程呢？

我们可以使用旋转矩阵来实现这一点。

旋转矩阵可以表示为：

R = | cosθ -sinθ | | sinθ cosθ |

其中 θ 表示旋转角度。对于逆时针旋转 15 度，θ 的值应为 15 度对应的弧度值，即 π/12。

初始圆的方程为 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中圆心坐标 (a, b) 为 (0, 0)，半径 r 为 100。

应用旋转矩阵 R，新的圆的方程为：

(x')^2 + (y')^2 = r^2

其中 (x', y') 为旋转后的坐标，可以通过将初始坐标 (x, y) 乘以旋转矩阵 R 来得到：

x' = xcosθ - ysinθy' = xsinθ + ycosθ

将以上坐标变换代入到新的圆的方程中，得到旋转后的圆的方程：

(xcosθ - ysinθ)^2 + (xsinθ + ycosθ)^2 = r^2

展开并化简后可得：

x^2cos^2θ + y^2sin^2θ + y^2cos^2θ + x^2sin^2θ = r^2

进一步简化，提取公因式：

x^2*(cos^2θ + sin^2θ) + y^2*(cos^2θ + sin^2θ) = r^2

由于 cos^2θ + sin^2θ = 1，所以：

x^2 + y^2 = r^2

因此，旋转后的圆的方程为 x^2 + y^2 = 100^2。

结论： 尽管圆绕 x 轴旋转了 15 度，但由于圆心位于原点且旋转是对称的，因此旋转后的圆的方程与初始圆的方程相同。