在某地的补给站附近同时有 4 支部队需要补充物资而补给站有 AB 两 种类型的飞机A 类飞机有 6 架最大载重 13 吨飞行速度 260kmh；B 类飞机 有 10 架最大载重 20 吨飞行速度 50kmh飞机可以沿直线前往部队投放物资 且每次只能前往一个目的地投放物资投放结束需要回到补给站再前往下一个部 队投放物资。 每支部队可以接受多于所需要的物资但接受的物资数量不能超过所需数量 的 150。

（1）建立数学模型：

设新补给站坐标为 $(x,y)$，则飞机从补给站到部队的时间为：

$$ \text{时间}=\frac{\text{距离}}{\text{速度}} $$

假设 A 类飞机先全部运输完物资再转为 B 类飞机，为了最大程度给各个部队提供支援，需要使所有部队能够在最晚需求时间之前收到物资，并且所需物资最小。因此可以建立如下的整数规划模型：

目标函数：

$$ \min t_{max} $$

约束条件：

$$ \begin{aligned} \text{时间} &\le t_{max} \ t_{max} &\le 450 \ t_{max} &\le 430 \ t_{max} &\le 410 \ t_{max} &\le 400 \ x &\ge 0 \ y &\ge 0 \ x &\le 20 \ y &\le 10 \ \end{aligned} $$

其中，时间表示从补给站到部队需要的时间，距离可以通过坐标计算得出。为了避免飞机在同一时间向多个部队运输物资，可以将时间限制为整数。

（2）建立数学模型：

假设飞机从新补给站出发，先到达距离最近的部队，然后依次到达其余部队。为了最小化运输总时间，可以建立如下的整数规划模型：

目标函数：

$$ \min \sum_{i=1}^4 t_i $$

约束条件：

$$ \begin{aligned} \text{时间} &\le t_i \ t_i &\le \text{最晚需求时间}_i \ \text{物资} &\le 1.1 \times \text{需求量}_i \ \text{物资} &\le 1.5 \times \text{需求量}_i \ \text{物资} &\ge \text{需求量}_i \ \text{载重} &\ge \text{物资} \ \text{时间} &\ge \text{装卸时间} \ \text{时间} &\le \text{最晚需求时间}_i \ \end{aligned} $$

其中，时间表示从新补给站到部队需要的时间，距离可以通过坐标计算得出。约束条件中的物资限制了飞机携带的物资不能超过所需数量的 150% 或 110%。载重限制了飞机携带的物资不能超过最大载重。装卸时间是根据飞机类型确定的，最晚需求时间限制了飞机在规定时间内完成任务。

（3）建立数学模型：

为了最小化运输总时间，可以建立如下的整数规划模型：

目标函数：

$$ \min \sum_{i=1}^4 t_i $$

约束条件：

$$ \begin{aligned} \text{时间} &\le t_i \ t_i &\le \text{最晚需求时间}_i \ \text{物资} &\le 1.1 \times \text{需求量}_i \ \text{物资} &\le 1.5 \times \text{需求量}_i \ \text{物资} &\ge 0.9 \times \text{需求量}_i \ \text{载重} &\ge \text{物资} \ \text{时间} &\ge \text{装卸时间} \ \end{aligned} $$

其中，物资限制了飞机携带的物资不能超过所需数量的 150% 或 110%。载重限制了飞机携带的物资不能超过最大载重。装卸时间是根据飞机类型确定的。限制物资不能少于需求量的 90%，是为了避免飞机运输的物资不足以满足部队的需求。如果不考虑飞机损耗，该约束条件可以简化为 $\text{物资} \ge \text{需求量}_i$。考虑飞机损耗后，可以通过减去一定比例的物资表示飞机损耗