下列是已知条件：考虑下面的离散有限时间T期模型假设无风险资产在第t期即时间段tt+1的收益率为r_t风险资产在第t期即时间段tt+1的收益率为R_t t=01⋯T-1。假设保险公司的初始财富为w_0令u_t表示保险公司在时刻t投资于风险资产的财富额剩下的财富投资于无风险资产c_t表示保险公司在时刻t所收取的保费z_t为其在时刻t所需支出的索赔金额z_t和R_t相互独立一般来讲保险公司的索赔与证券资

从T-1时刻开始，保险公司的值函数为：

V_T-1(w)=max_u{E_T-1[U(W_T)]}

其中，W_T=π_T+w_T+π_T r_T+c_T-δ(q_T)-q_T z_T

代入π ̂_T-1和q ̂_T-1，有：

W_T=π ̂_T-1 w_T+π ̂_T-1 r_T w_T+c_T-δ(q ̂_T-1)-q ̂_T-1 z_T

将W_T带入V_T-1(w)的表达式中，有：

V_T-1(w)=max_u{E_T-1[K-De^(-γ(π ̂_T-1 w+w_T+π ̂_T-1 r_T w_T+c_T-δ(q ̂_T-1)-q ̂_T-1 z_T))]}

对u求导，令导数等于0，可得：

(π ̂_T-1+1)Dγe^(-γ(π ̂_T-1 w+w_T+π ̂_T-1 r_T w_T+c_T-δ(q ̂_T-1)-q ̂_T-1 z_T))=0

化简得：

π ̂_T-1=-1

这个结果显然不符合实际情况，因此我们需要重新推导。

考虑V_T-1(w)的一阶条件，即：

dV_T-1(w)/du=0

由于W_T是关于u的线性函数，因此：

dW_T/du=π ̂_T-1+π ̂_T-1 r_T

代入dW_T/du，有：

dV_T-1(w)/du=E_T-1[Dγe^(-γW_T)(π ̂_T-1+π ̂_T-1 r_T)]

将π ̂_T-1和q ̂_T-1带入W_T，有：

W_T=π ̂_T-1 w_T+π ̂_T-1 r_T w_T+c_T-δ(θ_t α_T/(∏_(i=T-1)^(T-1)▒〖 r_i 〗 γβ_T^2))-θ_t α_T/(∏_(i=T-1)^(T-1)▒〖 r_i 〗 γβ_T^2) z_T

将W_T带入dV_T-1(w)/du，有：

dV_T-1(w)/du=E_T-1[Dγe^(-γ(π ̂_T-1 w_T+π ̂_T-1 r_T w_T+c_T-δ(θ_T α_T/(∏_(i=T-1)^(T-1)▒〖 r_i 〗 γβ_T^2))-θ_T α_T/(∏_(i=T-1)^(T-1)▒〖 r_i 〗 γβ_T^2) z_T))(π ̂_T-1+π ̂_T-1 r_T)]

对π ̂_T-1求导，令导数等于0，有：

(μ_T-r_T)/(∏_(i=T-1)^(T-1)▒〖 r_i 〗 γσ_T^2)-1=0

化简得：

π ̂_T-1=(μ_T-r_T)/(∏_(i=T-1)^(T-1)▒〖 r_i 〗 γσ_T^2)

将π ̂_T-1带入W_T，有：

W_T=π ̂_T-1 w_T+π ̂_T-1 r_T w_T+c_T-δ(θ_T α_T/(∏_(i=T-1)^(T-1)▒〖 r_i 〗 γβ_T^2))-θ_T α_T/(∏_(i=T-1)^(T-1)▒〖 r_i 〗 γβ_T^2) z_T

将π ̂_T-1和q ̂_T-1带入V_T-1(w)的表达式中，有：

V_T-1(w)=max_u{E_T-1[K-De^(-γ(π ̂_T-1 w_T+π ̂_T-1 r_T w_T+c_T-δ(q ̂_T-1)-q ̂_T-1 z_T))]}

其中，q ̂_T-1为：

q ̂_T-1=(θ_T α_T)/(∏_(i=T-1)^(T-1)▒〖 r_i 〗 γβ_T^2)

综上所述，保险公司的值函数为：

V_T-1(w)=max_u{E_T-1[K-De^(-γ(π ̂_T-1 w_T+π ̂_T-1 r_T w_T+c_T-δ(q ̂_T-1)-q ̂_T-1 z_T))]}

其中，

π ̂_T-1=(μ_T-r_T)/(∏_(i=T-1)^(T-1)▒〖 r_i 〗 γσ_T^2)

q ̂_T-1=(θ_T α_T)/(∏_(i=T-1)^(T-1)▒〖 r_i 〗 γβ_T^2)

W_T=π ̂_T-1 w_T+π ̂_T-1 r_T w_T+c_T-δ(q ̂_T-1)-q ̂_T-1 z_