已知：保险公司的初始财富为w_0令u_t表示保险公司在时刻t投资于风险资产的财富额剩下的财富投资于无风险资产c_t表示保险公司在时刻t所收取的保费z_t为其在时刻t所需支出的索赔金额R_t为风险资产的收益率z_t和R_t相互独立q_t为风险暴露值保费率为deltaleftq_tright=left1+theta_trightleft1-q_tright alpha_t保险公司的财富演进过程为W_t

根据动态规划原理，保险公司在t时刻的值函数为：

V_t(w_t)=\max_{\pi_t,q_t} \mathbb{E}t \left{ \sum{i=t}^{T-1} \mathrm{e}^{-\gamma(i-t)} \left[ K-D \mathrm{e}^{-\gamma W_i} \right] \right}

其中，W_i表示保险公司在第i个时刻的财富。

将财富演进过程代入上式，得到：

V_t(w_t)=\max_{\pi_t,q_t} \mathbb{E}t \left{ \sum{i=t}^{T-1} \mathrm{e}^{-\gamma(i-t)} \left[ K-D \mathrm{e}^{-\gamma \left( (W_t-\pi_t)r_t+\pi_t R_t+c_t-\delta(q_t)-q_t z_t \right)} \right] \right}

进一步展开，得到：

V_t(w_t)=\max_{\pi_t,q_t} \mathbb{E}t \left{ \sum{i=t}^{T-1} \mathrm{e}^{-\gamma(i-t)} K - \mathrm{e}^{-\gamma(i-t)} D \mathrm{e}^{-\gamma(W_t-\pi_t)r_t} \mathrm{e}^{-\gamma \pi_t R_t} \mathrm{e}^{-\gamma c_t} \mathrm{e}^{\gamma \delta(q_t)} \mathrm{e}^{\gamma q_t z_t} \right}

由于z_t和R_t相互独立，可以将上式中的z_t和R_t分离出来，得到：

V_t(w_t)=\max_{\pi_t,q_t} \mathbb{E}t \left{ \sum{i=t}^{T-1} \mathrm{e}^{-\gamma(i-t)} K - \mathrm{e}^{-\gamma(i-t)} D \mathrm{e}^{-\gamma(W_t-\pi_t)r_t} \mathrm{e}^{-\gamma \pi_t R_t} \mathrm{e}^{-\gamma c_t} \mathrm{e}^{\gamma \delta(q_t)} \right} \mathrm{e}^{\gamma \mathbb{E}_t { q_t z_t }} \mathrm{e}^{-\gamma \mathrm{Var}_t { q_t z_t }}

其中，\mathrm{Var}_t { q_t z_t }可以用beta_t^2表示。

将投资策略和再保险策略代入上式，得到：

V_t(w_t)=\max_{\pi_t,q_t} \mathbb{E}t \left{ \sum{i=t}^{T-1} \mathrm{e}^{-\gamma(i-t)} K - \mathrm{e}^{-\gamma(i-t)} D \mathrm{e}^{-\gamma(W_t-\pi_t)r_t} \mathrm{e}^{-\gamma \pi_t \mathbb{E}_t { R_t }} \mathrm{e}^{-\gamma c_t} \mathrm{e}^{\gamma \delta(\hat{q}_t)} \right} \mathrm{e}^{\gamma \theta_t \alpha_t \hat{q}_t} \mathrm{e}^{-\gamma \beta_t^2 \hat{q}_t}

其中，\hat{\pi}_t和\hat{q}_t分别为投资策略和再保险策略的表达式。

上式中的期望和条件概率可以通过数学模型计算得到。最终的值函数表达式为：

V_t(w_t)=\max_{\pi_t,q_t} \left{ \sum_{i=t}^{T-1} \mathrm{e}^{-\gamma(i-t)} K - \mathrm{e}^{-\gamma(i-t)} D \mathrm{e}^{-\gamma(W_t-\pi_t)r_t} \mathrm{e}^{-\gamma \pi_t \mu_t} \mathrm{e}^{-\gamma c_t} \mathrm{e}^{\gamma \theta_t \alpha_t \frac{\theta_t \alpha_t}{\prod_{j=t+1}^{T-1} r_j \gamma \beta_t^2}} \right} \mathrm{e}^{\gamma \theta_t \alpha_t \frac{\theta_t \alpha_t}{\prod_{j=t+1}^{T-1} r_j \gamma \beta_t^2}} \mathrm{e}^{-\gamma \beta_t^2 \frac{\theta_t^2 \alpha_t^2}{\prod_{j=t+1}^{T-1} r_j^2 \gamma^2 \beta_t^4}}

其中，\mu_t、r_t、c_t、\theta_t、\alpha_t、\beta_t、\gamma均为已知参数