题说明 3 ：赛题数据附件 1 中共包含 100 张信用评分卡每张卡可设置 10 种阈值之一并3对应各自的通过率与坏账率共 200 列其中 t_1 代表信用评分卡 1 的通过率共 10 项h_1 代表信用评分卡 1 的坏账率共 10 项依次类推 t_100 代表信用评分卡 100 的通过率h_100 代表信用评分卡 100 的坏账率。根据上面的赛题说明及附件 1 中的数据请你们团队通过建立数学模型

问题一：建模及求解

1.建模

首先，我们需要定义一些变量：

• $x_i$ 表示选择第 $i$ 张信用评分卡，其中 $i\in{1,2,\cdots,100}$。
• $y_i$ 表示选择第 $i$ 张信用评分卡的阈值，其中 $i\in{1,2,\cdots,100}$。

接下来，我们需要将最终收入最大化转化为数学模型。

根据题目，每张信用评分卡有 $10$ 种阈值可供选择，因此我们可以将问题转化为一个 0/1 背包问题。每张信用评分卡可以选择或不选择，即 $x_i\in{0,1}$。而每种阈值的收益即为通过率与坏账率的乘积，即 $h_{i,j}=t_{i,j}\times(1-h_{i,j})$，其中 $j\in{1,2,\cdots,10}$。

因此，我们可以得到以下目标函数：

$$ \max\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{10}h_{i,j}x_iy_j $$

同时，我们需要满足以下约束条件：

• 选择的信用评分卡数量不能超过 $1$ 张：$\sum_{i=1}^{100}x_i\leq1$。
• 每张信用评分卡只能选择一种阈值：$\sum_{j=1}^{10}y_j=1$。

因此，我们可以得到以下 0/1 整数规划模型：

$$ \begin{aligned} \max\quad & \sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{10}h_{i,j}x_iy_j\ \text{s.t.}\quad & \sum_{i=1}^{100}x_i\leq1,\ & \sum_{j=1}^{10}y_j=1,\ & x_i\in{0,1},\quad i\in{1,2,\cdots,100},\ & y_j\in{0,1},\quad j\in{1,2,\cdots,10}. \end{aligned} $$

2.QUBO形式

将整数规划模型转化为 QUBO 模型需要用到以下公式：

$$ x_i^2=x_i,\quad y_j^2=y_j,\quad x_iy_j=x_i+y_j-2x_iy_j $$

将目标函数和约束条件代入上述公式可以得到 QUBO 模型：

$$ \begin{aligned} \min\quad & -\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{10}h_{i,j}x_iy_j+\lambda\left(\sum_{i=1}^{100}x_i-1\right)^2+\mu\left(\sum_{j=1}^{10}y_j-1\right)^2\ \text{s.t.}\quad & x_i\in{0,1},\quad i\in{1,2,\cdots,100},\ & y_j\in{0,1},\quad j\in{1,2,\cdots,10}. \end{aligned} $$

其中，$\lambda$ 和 $\mu$ 是拉格朗日乘子，可以通过求解该 QUBO 模型得到。

3.求解

我们可以使用 D-Wave 的量子计算机或者 PyQUBO 模块来求解该问题。

本题的数据规模相对较小，可以直接使用 PyQUBO 模块求解。以下为求解代码