12．宋神宗熙宁九年文学家苏轼在《水调歌头·明月几时有》中有一名句月有阴晴圆缺表达了他超脱的胸怀。而球被平面截下的一部分叫做球缺截面叫做球缺的底面垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高球缺的体积公式 其中 为球的半径 为球缺的高．现有一球与一棱长为 的正方体的各棱均相切若往该正方体内投点则该点不在球内部的概率为

考察立体几何知识。根据题意，球缺的高为 $h=\sqrt{2}r$，体积为 $V=\frac{1}{3}\pi h^2(3r-h)$。正方体的棱长为 $2r$，因为球与正方体各棱均相切，所以球心与正方体中心的距离为 $r\sqrt{3}$，即球的半径为 $r\sqrt{2}$。设往正方体内投点的距离为 $x$，则该点不在球内部的概率为 $\frac{(2r-x)^3}{(2r)^3}$。要使该点不在球内部，必须满足 $x\leq r\sqrt{2}$。因此，所求概率为 $$ \begin{aligned} P &=\int_0^{r\sqrt{2}}\frac{(2r-x)^3}{(2r)^3}\text{d}x \ &=\frac{1}{8}\int_0^{2r}\left(1-\frac{x}{2r}\right)^3\text{d}x \ &=\frac{1}{32} \end{aligned} $$ 所以答案为 $\frac{1}{32}$。