随便出一道高三数学题已知函数$fx=frac1x^2+1$则$int_0^1fxmathrmdx$的值为多少？已知一等差数列的前$n$项和为$S_n$其公差为$d$则第$n$项的值为多少？继续

已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x$的值为多少？

解法一：

直接使用反三角函数公式，令$x=\tan t$，则$\mathrm{d}x=\frac{1}{\cos^2t}\mathrm{d}t$，并且$x=0$时$t=0$，$x=1$时$t=\frac{\pi}{4}$，则有：

$$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\tan^2t+1}\frac{1}{\cos^2t}\mathrm{d}t=\left[\arctan(\tan t)\right]_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}$$

解法二：

使用分式分解，将$f(x)$写成：

$$f(x)=\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{(x+i)(x-i)}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{x+i}-\frac{1}{x-i}\right)$$

则有：

$$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2i}\left[\ln(x+i)-\ln(x-i)\right]_0^1=\frac{1}{2i}\left[\ln\frac{1+i}{1-i}-\ln(-i)\right]=\frac{\pi}{4}$$

因为$\ln(-i)=\ln|i|+\mathrm{i}\arg(-i)=\ln 1+\mathrm{i}\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\mathrm{i}\left(-\frac{\pi}{2}\right)$。

综上，$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}$