偏导数求导公式

偏导数求导公式如下：

设函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 在点 $(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0)$ 处存在偏导数，则对于 $i=1,2,...,n$，有

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0)=\lim_{\Delta x_i\rightarrow 0}\frac{f(x_1^0,x_2^0,...,x_i^0+\Delta x_i,...,x_n^0)-f(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0)}{\Delta x_i}$$

其中，$\Delta x_i$ 表示 $x_i$ 的增量。

偏导数求导的基本方法是将函数看作只含一个变量，而将其他变量看作常数，然后对该变量求导。对于多元函数的偏导数，可以采用与一元函数相同的求导规则，即：

对于一个常数 $c$，$\frac{\partial}{\partial x_i}c=0$。
对于一个变量 $x_i$，$\frac{\partial}{\partial x_i}x_i=1$。
对于两个函数 $u(x_1,x_2,...,x_n)$ 和 $v(x_1,x_2,...,x_n)$，有

$$\frac{\partial}{\partial x_i}(u+v)=\frac{\partial u}{\partial x_i}+\frac{\partial v}{\partial x_i}$$

$$\frac{\partial}{\partial x_i}(uv)=u\frac{\partial v}{\partial x_i}+v\frac{\partial u}{\partial x_i}$$

对于一个函数 $u(x_1,x_2,...,x_n)$ 和一个常数 $c$，有

$$\frac{\partial}{\partial x_i}(cu)=c\frac{\partial u}{\partial x_i}$$

对于一个复合函数 $f(u_1,u_2,...,u_m)$，其中 $u_j=u_j(x_1,x_2,...,x_n)$，有

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\sum_{j=1}^m\frac{\partial f}{\partial u_j}\frac{\partial u_j}{\partial x_i}$$

注：上述公式中，$\frac{\partial}{\partial x_i}$ 表示对 $x_i$ 求偏导数，$\frac{\partial u_j}{\partial x_i}$ 表示 $u_j$ 对 $x_i$ 的偏导数