证明：已知基向量，证明其线性组合也是基向量

已知基向量，证明其线性组合也是基向量

问题： 已知 a1, a2, a3, a4 是向量空间 V 的一个基，证明 a1+a2, a2+a3, a3+a4, a4 也是 V 的一个基。

证明：

要证明 a1+a2, a2+a3, a3+a4, a4 是向量空间 V 的一个基，我们需要证明以下两点：

1. 线性无关： 这四个向量线性无关。2. 向量张成： 这四个向量张成整个向量空间 V。

1. 证明线性无关

假设存在不全为零的标量 c1, c2, c3, c4，使得：

c1(a1+a2) + c2(a2+a3) + c3(a3+a4) + c4a4 = 0

展开并合并相同项：

(c1+c2)a1 + (c1+c2+c3)a2 + (c2+c3+c4)a3 + (c3+c4)a4 = 0

由于 a1, a2, a3, a4 是向量空间 V 的一个基，它们线性无关。因此，上述等式成立当且仅当：

c1+c2 = 0，c1+c2+c3 = 0，c2+c3+c4 = 0，c3+c4 = 0。

解此方程组，可得 c1 = c2 = c3 = c4 = 0。

因此，向量 a1+a2, a2+a3, a3+a4, a4 是线性无关的。

2. 证明向量张成

对于任意的向量 v ∈ V，由于 a1, a2, a3, a4 是 V 的基，我们可以将 v 表示为：

v = d1a1 + d2a2 + d3a3 + d4a4，其中 d1, d2, d3, d4 是标量。

将上式改写为：

v = (d1+d2)(a1+a2) + (d2+d3)(a2+a3) + (d3+d4)(a3+a4) + d4a4

由此可见，v 可以由 a1+a2, a2+a3, a3+a4, a4 线性组合得到。

因此，向量 a1+a2, a2+a3, a3+a4, a4 张成整个向量空间 V。

结论：

综上所述，我们证明了 a1+a2, a2+a3, a3+a4, a4 是向量空间 V 的一个基。