换元法证明 arctanx/x 极限为 1

当然可以使用换元法进行证明。我们可以进行如下的换元：

令 y = arctanx，那么 x = tan y。

现在我们可以计算当 x 趋近于零时，y 的极限值。当 x 趋近于零时，y 也会趋近于零，因为 tan y 在 y=0 处的极限是零。

现在我们来计算 arctanx/x 的极限：

lim(x→0) (arctanx/x) = lim(y→0) (arctan(tan y) / tan y)

因为在 y=0 处，arctan(tan y) = y，我们可以将该值代入上式：

lim(y→0) (arctan(tan y) / tan y) = lim(y→0) (y / tan y)

根据三角函数的性质，tan y = sin y / cos y，我们可以将其代入上式：

lim(y→0) (y / (sin y / cos y)) = lim(y→0) (y * (cos y / sin y))

通过化简，我们得到：

lim(y→0) (y * (cos y / sin y)) = lim(y→0) (cos y / sin y)

我们知道，当 y 趋近于零时，cos y 趋近于 1，sin y 趋近于 y。因此：

lim(y→0) (cos y / sin y) = 1

因此，我们得到：

lim(x→0) (arctanx/x) = 1

证明完成，当 x 趋近于零时，arctanx 的等价无穷小为 1。