ydx+(x^2-4x)dy=0的通解

首先，我们可以将方程变形为：

$$ydx+(x^2-4x)dy=0$$

然后，我们来尝试寻找一个积分因子，使得方程可以通过乘上这个积分因子而变成一个恰当方程。设积分因子为 $u(x,y)$，则有：

$$\frac{\partial}{\partial y}(uy)=u\frac{\partial y}{\partial y}+y\frac{\partial u}{\partial y}=u$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(ux^2-4ux)=2ux+u\frac{\partial x^2}{\partial x}-4u=u(2x-4)$$

则要使得方程可以通过乘上积分因子变成一个恰当方程，必须满足：

$$\frac{u}{y}=\frac{2x-4}{x^2-4x}$$

$$u=\frac{2x-4}{y(x-4)}$$

因此，我们可以将原方程乘上积分因子 $\frac{2x-4}{y(x-4)}$，得到：

$$\frac{2x-4}{y}dx+\frac{(x^2-4x)2x-4}{x-4}dy=0$$

然后，我们来寻找这个恰当方程的解。根据恰当方程的定义，它必须能够表示为某个函数 $F(x,y)$ 的全微分形式，即：

$$dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=0$$

因此，我们可以通过对 $F(x,y)$ 进行求导，得到：

$$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{(x^2-4x)2x-4}{x-4}$$

$$\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{2x-4}{y}$$

对 $\frac{\partial F}{\partial x}$ 进行积分，得到：

$$F(x,y)=\int\frac{(x^2-4x)2x-4}{x-4}dx+C(y)$$

对 $C(y)$ 进行求导，得到：

$$\frac{\partial C}{\partial y}=\frac{2x-4}{y}$$

对 $C(y)$ 进行积分，得到：

$$C(y)=\int\frac{2x-4}{y}dy=D(x)-2\ln|y|$$

因此，原方程的通解为：

$$F(x,y)=\int\frac{(x^2-4x)2x-4}{x-4}dx+D(x)-2\ln|y|=0$$

其中，$D(x)$ 是任意可微函数。