证明任意矩阵都存在最小多项式

假设存在一个矩阵$A$没有最小多项式，即任何次数大于$0$的多项式都不是$A$的特征多项式。则存在一个向量$v$，使得$v, Av, A^2v, \ldots$线性无关。我们可以将这些向量组成一个无限维的向量空间$V$，其中每个向量都是形如$A^kv$的线性组合。

由于$V$是无限维的，我们可以构造出一个无限维的$A$的子空间$W$，它是由$V$中的一组基构成的。显然，$W$也是$A$的不变子空间，因为$A$作用于$W$中的任何向量仍然在$W$中。

现在考虑$A$在$W$上的限制。由于$W$是$A$的不变子空间，$A$在$W$上的限制可以表示为一个矩阵$B$，它作用于$W$中的任何向量，产生的结果仍然在$W$中。因此，$B$也没有最小多项式。

我们可以重复上述步骤，构造出一个新的$A$的不变子空间$W'$，它是由$W$中的一组基构成的。然后我们可以考虑$A$在$W'$上的限制，它可以表示为一个矩阵$B'$，它也没有最小多项式。

我们可以一直重复这个过程，构造出一个无限维的链$V \supseteq W \supseteq W' \supseteq \cdots$，其中每个子空间都是$A$的不变子空间，且每个限制矩阵都没有最小多项式。但这是不可能的，因为$A$是一个有限维矩阵，它不能有无限维的不变子空间链。因此，假设不成立，任意矩阵都存在最小多项式