Rodrigues 公式推导：旋转矢量与旋转轴的关系

在推导 Rodrigues 公式之前，先来说明一些符号的含义：

• Q 是原始矢量
• Q' 是旋转后的新矢量
• Rk(θ) 是绕矢量 k 旋转角度 θ 的旋转矩阵
• K 是单位向量，表示旋转轴的方向
• θ 是旋转角度

现在开始推导 Rodrigues 公式：

首先，我们将矢量 Q' 表示为旋转矩阵 Rk(θ) 作用于矢量 Q 的结果： Q' = Rk(θ)Q

根据旋转矩阵的定义，我们将其展开为： Q' = (I + sinθ[K] + (1 - cosθ)[K]^2)Q

其中，[K] 表示以向量 K 为基底形成的反对称矩阵： [K] = | 0 -Kz Ky | | Kz 0 -Kx | | -Ky Kx 0 |

[K]^2 表示矩阵 [K] 自乘的结果： [K]^2 = [K] * [K] = | 0 -Kz Ky | * | 0 -Kz Ky | | Kz 0 -Kx | * | Kz 0 -Kx | | -Ky Kx 0 | * | -Ky Kx 0 |

将 [K]^2 展开计算，可以得到： [K]^2 = -Kx^2 - Ky^2 - Kz^2

继续展开 Q'，并根据矢量的线性运算性质进行合并： Q' = Q + sinθ[K]Q + (1 - cosθ)[K]^2Q

将 [K]^2 代入上式： Q' = Q + sinθ(K × Q) + (1 - cosθ)(-Kx^2 - Ky^2 - Kz^2)Q = Q + sinθ(K × Q) + (1 - cosθ)(K · Q)K

最后，根据 Rodrigues 公式的定义，我们得到： Q' = Qcosθ + sinθ(K × Q) + (1 - cosθ)(K · Q)K

这就是 Rodrigues 公式的推导过程，它描述了旋转矢量和旋转轴之间的关系，可以用于进行矢量的旋转变换。