基于下列等式beginaligned& A^primet+lefttheta k_1-kright At-frac12 k_2^2 A^2t=0 & AT=0endalignedA^primet为At关于t的偏导数求At的数学表达式

将该微分方程改写为标准形式： $$A^{\prime}(t) + (\theta k_1 - k)A(t) = \frac{1}{2}k_2^2A^2(t)$$ 该方程是一个一阶非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法求解。设$A(t) = Ce^{rt}$，代入原方程得到： $$Cr e^{rt} + (\theta k_1 - k)Ce^{rt} = \frac{1}{2}k_2^2C^2 e^{2rt}$$ 化简得到： $$r + (\theta k_1 - k) = \frac{1}{2}k_2^2Ce^{rt}$$ 由于$A(T) = 0$，代入得到$Ce^{rT} = 0$，因此$C=0$或$e^{rT}=0$。但是$C=0$时$A(t)=0$，不符合题意，因此必须有$e^{rT}=0$，即$r=-\infty$。因此，$A(t)$的通解为： $$A(t) = \frac{k_2^2}{2(\theta k_1 - k)}\frac{1}{e^{k_2^2(t-T)}-1}$$ 其中，$e^{k_2^2(t-T)}\neq 1$。