对于下列等式已知beginaligned& A^primet+lefttheta k_1-kright At-frac12 k_2^2 A^2t=0 & AT=0endalignedA^primet为At关于t的偏导数求At的数学表达式

我们可以使用常数变易法求解该微分方程。假设 $A(t)=e^{rt}$，则有 $$ A^{\prime}(t)=re^{rt} $$ 将上式代入原方程得到 $$ re^{rt}+(\theta k_1-k)e^{rt}-\frac{1}{2}k_2^2e^{2rt}=0 $$ 整理可得 $$ r+(\theta k_1-k)-\frac{1}{2}k_2^2e^{rt}=0 $$ 解出 $r$，得到 $$ r=k-k_1\theta\pm k_2\sqrt{\frac{k_1\theta}{2}-k} $$ 因为 $A(T)=0$，所以有 $A(T)=e^{rT}=0$，即 $r$ 满足 $$ k-k_1\theta\pm k_2\sqrt{\frac{k_1\theta}{2}-k}=0 $$ 解出 $k$，得到 $$ k=\frac{k_1\theta}{2}\pm\frac{k_2^2}{2}\sqrt{\frac{k_1}{2\theta}} $$ 因此，$A(t)$ 的数学表达式为 $$ A(t)=Ce^{(k-k_1\theta)t\pm k_2\sqrt{\frac{k_1\theta}{2}-k}t} $$ 其中 $C$ 为常数