对于下列等式beginaligned& A^primet+lefttheta k_1-kright At-frac12 k_2^2 A^2t=0 & AT=0endalignedA^primet为At关于t的偏导数求At的数学表达式

该方程可以看作是一个常微分方程，可以使用常数变易法求解。

首先，设$A(t)=e^{rt}$，代入原方程得到： $$r e^{rt}+(\theta k_1-k)e^{rt}-\frac{1}{2}k_2^2e^{2rt}=0$$ 化简得到： $$r+(\theta k_1-k)-\frac{1}{2}k_2^2e^{rt}=0$$ 移项得到： $$r=\frac{k-k_1\theta}{1/2k_2^2e^{rt}-1}$$ 因为$A(T)=0$，所以$e^{rT}=0$，即$rT=-\infty$，因此$r=0$。

将$r=0$代入上式，得到： $$\frac{k-k_1\theta}{1/2k_2^2-1}=0$$ 解得： $$\theta=\frac{k}{k_1}$$ 因此，$A(t)=Ce^{(\theta k_1-k)t-\frac{1}{2}k_2^2t^2}$，其中$C$为待定常数。

由$A(T)=0$，代入得到： $$0=Ce^{(\theta k_1-k)T-\frac{1}{2}k_2^2T^2}$$ 因为$C\neq 0$，所以$e^{(\theta k_1-k)T-\frac{1}{2}k_2^2T^2}=0$，即$(\theta k_1-k)T-\frac{1}{2}k_2^2T^2=-\infty$，解得$T=\frac{k_1}{k_2^2}$。

因此，$A(t)=Ce^{(\theta k_1-k)t-\frac{1}{2}k_2^2t^2}$，其中$C$为待定常数，$t\in[0,\frac{k_1}{k_2^2}]$