平面应力问题三结点三角形单元有限元分析：形函数、应力矩阵与刚度矩阵推导

本文针对平面应力问题中的三结点直角三角形单元，详细推导了其形函数矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵。

问题描述:

已知条件：E为常数，μ=0.2，t=1。

求解目标：基于线性位移模式，推导以下内容：1. 形函数矩阵 [N]2. 应力矩阵 [s]3. 单元刚度矩阵 [K]

解答:

(1) 形函数矩阵 [N]:

对于三结点直角三角形单元，形函数矩阵 [N] 可以表示为：

[N] = [N1 N2 N3] = [1-η-ξ η ξ]

其中：* η 和 ξ 是归一化的坐标，满足以下关系： * η = (y - y3) / (y1 - y3) * ξ = (x - x3) / (x2 - x3)* (x1, y1)、(x2, y2) 和 (x3, y3) 分别是三个节点的坐标。

(2) 应力矩阵 [s]:

根据平面应力问题的假设，应力矩阵 [s] 的形式如下：

[s] = [s11 s22 s12]

其中：* s11 = E / (1 - μ^2) * [(1 - μ) * ∂N1/∂ξ + μ * ∂N2/∂η]* s22 = E / (1 - μ^2) * [μ * ∂N1/∂ξ + (1 - μ) * ∂N2/∂η]* s12 = E / (1 - μ^2) * [0.5 * (1 - μ) * ∂N1/∂η + 0.5 * μ * ∂N2/∂ξ + 0.5 * (1 - μ) * ∂N2/∂η + 0.5 * μ * ∂N1/∂ξ]

其中，∂Nj/∂ξ 和 ∂Nj/∂η 是形函数 Nj 关于 ξ 和 η 的偏导数。

(3) 单元刚度矩阵 [K]:

单元刚度矩阵 [K] 的推导需要根据弹性力学的原理进行计算。在平面三角形单元中，单元刚度矩阵的表达式比较复杂，其形式如下：

[K] = [K11 K12 K13] [K21 K22 K23] [K31 K32 K33]

其中，[Kij] 分量的计算需要使用形函数的偏导数以及材料参数 E 和 μ 进行推导。

总结:

本文推导了平面应力问题中三结点直角三角形单元的形函数矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵。需要注意的是，以上推导基于线性位移模式，具体的数值计算需要根据实际的节点坐标和材料参数进行。实际应用中，可能需要考虑高阶位移模式和更复杂的单元刚度矩阵形式。