高中三角函数高考常见考题举例和详解

已知 $\sin \alpha = \frac{1}{3}$，$\alpha \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，求 $\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$。

解：由三角恒等式 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$，得 $\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$。因为 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，所以 $\cos \alpha > 0$，故 $\cos \alpha = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$。又因为 $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$，所以 $\tan \alpha = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$。

已知 $\sin \theta = \frac{3}{5}$，$\theta \in \left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，求 $\cos \theta$ 和 $\tan \theta$。

解：由三角恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，得 $\cos \theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \pm \frac{4}{5}$。因为 $\theta \in \left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，所以 $\cos \theta < 0$，故 $\cos \theta = -\frac{4}{5}$。又因为 $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$，所以 $\tan \theta = -\frac{3}{4}$。

已知 $\cos x = -\frac{3}{5}$，$\frac{\pi}{2} < x < \pi$，求 $\sin x$ 和 $\tan x$。

解：由三角恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，得 $\sin x = \pm \sqrt{1 - \cos^2 x} = \pm \frac{4}{5}$。因为 $\frac{\pi}{2} < x < \pi$，所以 $\sin x > 0$，故 $\sin x = \frac{4}{5}$。又因为 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，所以 $\tan x = -\frac{4}{3}$。

已知 $\tan \alpha = \frac{3}{4}$，$\alpha \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，求 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$。

解：由三角恒等式 $\tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha$，得 $\cos \alpha = \frac{4}{5}$，又因为 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$，所以 $\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \pm \frac{3}{5}$。因为 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，所以 $\sin \alpha > 0$，故 $\sin \alpha = \frac{3}{5}$。