分数布朗运动的长相依性证明

分数布朗运动是一种随机过程，其长相依性可以通过其定义式和随机微积分的性质来证明。

定义式：分数布朗运动可以用如下的定义式表示：

$X_t=\frac{1}{\Gamma(\alpha+1/2)}\int_{-\infty}^{\infty}(t-s)^{\alpha-1/2}dW_s$

其中，$W_t$是标准布朗运动，$\alpha\in(0,1)$是分数阶指数，$\Gamma(\cdot)$是伽马函数。

现在需要证明的是分数布朗运动的长相依性，即当$t$趋近于无穷大时，$X_t$的概率分布会趋近于一个稳态分布。

证明过程：

首先，根据定义式，可以得到：

$E[X_t]=0$

$Var[X_t]=\frac{2}{\Gamma(2\alpha+1)}\int_0^t(t-s)^{2\alpha-1}ds=\frac{t^{2\alpha}}{\Gamma(2\alpha+1)}$

因此，$X_t$的均值为0，方差与$t$的关系为$t^{2\alpha}$。

接下来，考虑分数布朗运动的自相关函数：

$R(t_1,t_2)=E[X_{t_1}X_{t_2}]=\frac{1}{\Gamma(\alpha+1/2)^2}\int_{-\infty}^{\infty}(t_1-s)^{\alpha-1/2}(t_2-s)^{\alpha-1/2}ds$

将$s$替换为$s+t_2-t_1$，得到：

$R(t_1,t_2)=\frac{1}{\Gamma(\alpha+1/2)^2}\int_{-\infty}^{\infty}(t_2-s)^{\alpha-1/2}(s-t_1+t_2)^{\alpha-1/2}ds$

根据伽马函数的性质，可以得到：

$\Gamma(\alpha+1/2)\Gamma(\alpha+1/2)=\int_0^{\infty}u^{2\alpha}e^{-u}du$

因此，

$\frac{1}{\Gamma(\alpha+1/2)^2}=\frac{1}{\int_0^{\infty}u^{2\alpha}e^{-u}du}$

将其代入$R(t_1,t_2)$的式子中，得到：

$R(t_1,t_2)=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}(t_2-s)^{\alpha-1/2}(s-t_1+t_2)^{\alpha-1/2}ds}{\int_0^{\infty}u^{2\alpha}e^{-u}du}$

接下来，考虑当$t_2-t_1$趋近于无穷大时，$R(t_1,t_2)$的行为。这可以通过换元法来证明。令$u=t_2-s$，则$s=t_2-u$，$ds=-du$，$t_2-s=t_1-t_2+u$。将这些代入$R(t_1,t_2)$的式子中，得到：

$R(t_1,t_2)=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}u^{\alpha-1/2}(t_1-t_2+u)^{\alpha-1/2}du}{\int_0^{\infty}u^{2\alpha}e^{-u}du}$

因为$u$的范围是$(-\infty,\infty)$，当$t_2-t_1$趋近于无穷大时，$u$的范围也将趋近于无穷大。因此，可以将积分区间换成$(0,\infty)$，得到：

$R(t_1,t_2)=\frac{\int_0^{\infty}u^{\alpha-1/2}(t_1-t_2+u)^{\alpha-1/2}du}{\int_0^{\infty}u^{2\alpha}e^{-u}du}$

接下来，考虑当$t_2-t_1$趋近于无穷大时，$R(t_1,t_2)$的行为。根据拉普拉斯方法，可以得到：

$\lim_{t_2-t_1\to\infty}R(t_1,t_2)=\frac{\Gamma(\alpha+1/2)^2}{\Gamma(2\alpha+1)}=\frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha)}$

因此，当$t$趋近于无穷大时，$X_t$的概率分布将趋近于一个稳态分布，该稳态分布的自相关函数为$R(\tau)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha)}\tau^{-2\alpha+1}$。