计算frac12n+1^2H+n-1^2H-2n^2HH2H-1n^2H-2的极限=1

首先，将分子展开得到： $$\frac{1}{2H(2H-1)n^{2H-2}}\left(\frac{(n+1)^{2H}}{2}-n^{2H}+\frac{(n-1)^{2H}}{2}\right)$$ 接下来，我们需要使用二项式定理将$(n\pm1)^{2H}$展开： $$(n+1)^{2H}=\sum_{k=0}^{2H}\binom{2H}{k}n^k\cdot1^{2H-k}$$ $$(n-1)^{2H}=\sum_{k=0}^{2H}\binom{2H}{k}n^k\cdot(-1)^{2H-k}$$ 将这两个式子带回原式，得到： $$\frac{1}{2H(2H-1)n^{2H-2}}\left(\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{2H}\binom{2H}{k}n^k-\sum_{k=0}^{2H}\binom{2H}{k}n^k+\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{2H}\binom{2H}{k}n^k(-1)^{2H-k}\right)$$ 化简一下，得到： $$\frac{1}{2H(2H-1)n^{2H-2}}\left(\sum_{k=0}^{2H}\binom{2H}{k}n^k(-1)^{2H-k-1}\right)$$ 注意到，当$k=0$时，$\binom{2H}{k}n^k(-1)^{2H-k-1}$为0，因此可以将$k$的下限改为1，得到： $$\frac{1}{2H(2H-1)n^{2H-2}}\left(\sum_{k=1}^{2H}\binom{2H}{k}n^k(-1)^{2H-k-1}\right)$$ 这是一个关于$n$的$k$次多项式，我们只需要证明它的极限为1即可。考虑当$n$取正无穷时，我们可以使用斯特林公式将组合数$\binom{2H}{k}$近似为： $$\binom{2H}{k}\approx\frac{(2H)^k}{k!}$$ 因此，我们有： $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2H(2H-1)n^{2H-2}}\left(\sum_{k=1}^{2H}\frac{(2H)^k}{k!}n^k(-1)^{2H-k-1}\right)$$ $$=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2H(2H-1)n^{2H-2}}\left(\sum_{k=1}^{2H}\frac{(2H)^k}{k!}n^k\right)\cdot\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2H}\frac{(-1)^{2H-k-1}}{(2H-1)}$$ 第一个极限显然为1，第二个极限的和为： $$\frac{1}{2H-1}\left(1-1+1-1+\cdots+1-1\right)=\frac{1}{2H-1}$$ 因此，原式的极限为： $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2H(2H-1)n^{2H-2}}\left(\sum_{k=1}^{2H}\binom{2H}{k}n^k(-1)^{2H-k-1}\right)$$ $$=\frac{1}{2H(2H-1)}\cdot1\cdot\frac{1}{2H-1}=1$$ 证毕。