计算frac12n+1^2H+n-1^2H-2n^2HH2H-1n^2H-2当n趋于无穷的极限为1

首先将分子展开：

\begin{aligned} &\frac{1}{2}\left((n+1)^{2H}+(n-1)^{2H}-2n^{2H}\right) \ =&\frac{1}{2}\left(n^{2H}+2n^{2H}H+2n^{2H}\frac{H(H-1)}{2!}+\cdots+(2H)^{2H} \ &+n^{2H}-2n^{2H}H+2n^{2H}\frac{H(H-1)}{2!}-\cdots+(-2H)^{2H}-2n^{2H}\right) \ =&\frac{1}{2}\left(2\sum_{k=0}^{H-1}\frac{(2H)^{2k}(n^{2H-2k}-n^{2H-2k-2})}{(2k+1)!}+(2H)^{2H}\right) \ =&\sum_{k=0}^{H-1}\frac{(2H)^{2k}(n^{2H-2k}-n^{2H-2k-2})}{(2k+1)!}+(2H)^{2H-1} \end{aligned}

其中第二步用到了二项式定理，第三步利用了等比数列求和公式。

将分子代入原式，得到：

\begin{aligned} &\frac{1}{H(2H-1)n^{2H-2}}\sum_{k=0}^{H-1}\frac{(2H)^{2k}(n^{2H-2k}-n^{2H-2k-2})}{(2k+1)!}+\frac{(2H)^{2H-1}}{n^{2H-2}} \ =&\frac{1}{H(2H-1)n^{2H-2}}\sum_{k=0}^{H-1}\frac{(2H)^{2k}}{(2k+1)!}(n^{2H-2k}-n^{2H-2k-2})+\frac{(2H)^{2H-1}}{n^{2H-2}} \ =&\frac{1}{H(2H-1)n^{2H-2}}\left(\frac{(2H)^{2H}}{(2H-1)!}-\frac{(2H)^{2H-2}}{(2H-3)!}+\cdots+\frac{(2H)^2}{3!}-\frac{(2H)^0}{1!}\right)+\frac{(2H)^{2H-1}}{n^{2H-2}} \ =&\frac{1}{H(2H-1)n^{2H-2}}\left(\sum_{k=0}^{H-1}\frac{(2H)^{2k}}{(2k+1)!}\right)-\frac{(2H)^{2H-3}}{(2H-1)n^{2H-4}}+\cdots+\frac{(2H)^2}{3!}-\frac{(2H)^0}{1!}+\frac{(2H)^{2H-1}}{n^{2H-2}} \ =&\frac{1}{H(2H-1)}\left(\sum_{k=0}^{H-1}\frac{(2H)^{2k}}{(2k+1)!}\right)\left(\frac{1}{n^2}\right)^{H-1}-\frac{(2H)^{2H-3}}{(2H-1)n^{2H-4}}+\cdots+\frac{(2H)^2}{3!}-\frac{(2H)^0}{1!}+\frac{(2H)^{2H-1}}{n^{2H-2}} \end{aligned}

当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n^2}$趋于0，因此第一项趋于$\frac{1}{H(2H-1)}\left(\sum_{k=0}^{H-1}\frac{(2H)^{2k}}{(2k+1)!}\right)$. 而后面的项中，$\frac{(2H)^{2H-1}}{n^{2H-2}}$是最高阶的，趋于0的最慢，因此极限为：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2H-1}\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\frac{(2H)^{2H-1}}{H}=\frac{(2H)^{2H-1}}{2H-1}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\cdot\frac{1}{H}=0$$

因此原式极限为$1$.