计算∫0�2sin⁡2�⋅cos⁡3���sin⁡3�3−sin⁡5�50�2=215∫02πsin2x⋅cos3xdx3sin3x−5sin5x02π=152

首先，我们可以将被积函数写成三角函数的乘积形式：$\sin^2(x) \cos^3(x) = \sin^2(x) \cos^2(x) \cos(x) = (1-\sin^2(x))\cos^2(x)\cos(x)$。

接着，我们可以进行变量代换，令$u=\sin(x)$，则$\mathrm{d}u = \cos(x) \mathrm{d}x$，被积函数变为$(1-u^2)u^2 \mathrm{d}u$。

利用分部积分法，我们可以将被积函数积分：

$$ \begin{aligned} \int_0^2 \sin^2(x) \cos^3(x) \mathrm{d}x &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \cos^3(x) \mathrm{d}x + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin^2(x) \cos^3(x) \mathrm{d}x \ &= \int_0^1 (1-u^2)u^2 \mathrm{d}u + \int_{-1}^0 (1-u^2)u^2 \mathrm{d}u \ &= \left[\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5}\right]0^1 + \left[\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5}\right]{-1}^0 \ &= \frac{2}{15} + \frac{2}{15} \ &= \frac{4}{15} \end{aligned} $$

因此，原式的值为：

$$ \begin{aligned} \int_0^{2\pi} \sin^2(x) \cos^3(x) \mathrm{d}x &= 2\int_0^{\pi} \sin^2(x) \cos^3(x) \mathrm{d}x \ &= 2\cdot\frac{4}{15} \ &= \frac{8}{15} \ &\approx 0.5333 \end{aligned} $$