计算 ∫ 0 � 2 sin ⁡ 2 � ⋅ cos ⁡ 3 � � � sin ⁡ 3 � 3 − sin ⁡ 5 � 5 0 � 2 = 2 15 ∫ 0 2 π sin 2 x⋅cos 3 xdx 3 sin 3 x − 5 sin 5 x 0 2 π = 15 2

首先，我们可以将被积函数中的 $\sin^2 2x$ 和 $\cos^3 3x$ 分别表示为 $\frac{1}{2}(1-\cos 4x)$ 和 $\cos^2 3x \cdot \cos 3x$，于是原式变为：

$$\frac{1}{2} \int_0^2 (1-\cos 4x) \cdot \cos^2 3x \cdot \cos 3x \mathrm{d}x$$

接下来，我们可以使用三角恒等式将 $\cos^2 3x$ 表示为 $\frac{1}{2}(1+\cos 6x)$，于是原式变为：

$$\frac{1}{4} \int_0^2 (1-\cos 4x) \cdot (1+\cos 6x) \cdot \cos 3x \mathrm{d}x$$

展开后将积分拆分，得到：

\begin{aligned} &\frac{1}{4} \int_0^2 \cos 3x \mathrm{d}x - \frac{1}{4} \int_0^2 \cos 3x \cdot \cos 4x \mathrm{d}x \ &+ \frac{1}{4} \int_0^2 \cos 3x \cdot \cos 6x \mathrm{d}x - \frac{1}{4} \int_0^2 \cos 4x \cdot \cos 6x \mathrm{d}x \end{aligned}

其中第一个积分为 $\frac{1}{3} \sin 3x$，第二个积分可以使用积化和差公式化为 $\frac{1}{8}(\sin 7x + \sin x)$，第三个积分可以使用积化和差公式化为 $\frac{1}{8}(\sin 9x + \sin 3x)$，第四个积分可以使用积化和差公式化为 $\frac{1}{16}(\sin 2x + \sin 10x)$。将它们代入原式，得到：

$$\frac{1}{3} - \frac{1}{8}(\sin 7x + \sin x) + \frac{1}{8}(\sin 9x + \sin 3x) - \frac{1}{16}(\sin 2x + \sin 10x) \bigg|_0^2$$

化简可得：

$$\frac{15}{8} - \frac{1}{8} \sin 2 - \frac{1}{16} \sin 10$$

因此，原式等于 $\frac{2}{15}$ 乘以上式，即：

$$\frac{1}{12} - \frac{1}{120} \sin 2 - \frac{1}{240} \sin 10$$

这就是原积分的值。