均值不等式证明：数学归纳法应用

现在，我们将均值不等式应用于这组 k 个数和最后一个数 ak+1：

((a1 + a2 + ... + ak)/k + ak+1)/2 ≥ √(((a1 + a2 + ... + ak)/k) * ak+1)

我们可以将左边进一步简化为 (a1 + a2 + ... + ak + k*ak+1)/(2k)。

现在，我们需要证明这个表达式大于等于几何平均值 √(a1 * a2 * ... * ak * ak+1)。

根据数学归纳法的假设，我们有 (a1 + a2 + ... + ak)/k ≥ √(a1 * a2 * ... * ak)。

将其平方，得到 (a1 + a2 + ... + ak)^2/k^2 ≥ a1 * a2 * ... * ak。

将其与我们刚刚简化的左边的表达式进行比较：

(a1 + a2 + ... + ak + k*ak+1)/(2k) ≥ √(a1 * a2 * ... * ak * ak+1)

我们可以对不等式的两边同时乘以 2k，得到：

a1 + a2 + ... + ak + k*ak+1 ≥ 2k√(a1 * a2 * ... * ak * ak+1)

需要注意的是，我们需要证明该不等式对于任意非负实数 a1, a2, ..., ak+1 成立。

现在，我们可以使用均值不等式的基本形式，即两个数的均值不等式，来证明上述不等式：

(a1 + a2 + ... + ak + k*ak+1)/k+1 ≥ √((a1 + a2 + ... + ak)/k * ak+1)

将其展开，得到

(a1 + a2 + ... + ak + k*ak+1)/k+1 ≥ √((a1 + a2 + ... + ak)/k) * √ak+1

根据数学归纳法的假设，我们知道 (a1 + a2 + ... + ak)/k ≥ √(a1 * a2 * ... * ak)。

将其代入不等式，得到：

(a1 + a2 + ... + ak + k*ak+1)/k+1 ≥ √(a1 * a2 * ... * ak) * √ak+1

我们可以将 √(a1 * a2 * ... * ak) 乘以 √ak+1，得到：

√(a1 * a2 * ... * ak) * √ak+1 = √(a1 * a2 * ... * ak * ak+1)

因此，我们得到：

(a1 + a2 + ... + ak + k*ak+1)/k+1 ≥ √(a1 * a2 * ... * ak * ak+1)

这就证明了当 n = k + 1 时不等式成立。

根据数学归纳法的原理，当 n = 2 时成立，并且当 n = k 时成立时，驻 n = k + 1 时也成立。因此，我们可以得出结论：对于任何正整数 n 和非负实数 a1, a2, ..., an，有 (a1 + a2 + ... + an)/n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)。证毕。