2023 年河北工程大学数学建模竞赛题目请先阅读河北工程大学数学建模竞赛论文格式规范移山填海基建 call模 随着科学技术的不断发展我国基建水平与能力不断提高赢得基建狂魔的称号。基建工程技术的发展离不开多种学科的支持例如测绘、机械、管理科学、工程数学、地理信息学等。我省某地拟规划建设一条高速公路附图需要在 A-B 和 C-D 段开挖宽度为 30米的沟槽。请仔细阅读以下要求完成相应的题目。1仔细提取

附图：项目施工现场信息

（1）地形剖面线绘制

根据附图，可以绘制出 A-B 和 C-D 段的地形剖面线，如下图所示：

（2）土石方量计算

根据地形剖面线，可以计算出 A-B 和 C-D 段的土石方量。

A-B 段土石方量计算：

图中矩形部分为需要挖掘的土石方量，计算如下：

矩形面积 = 30m × （50m - 20m）= 900m² 土石方量 = 900m² × 10m = 9000m³

C-D 段土石方量计算：

图中矩形部分为需要挖掘的土石方量，计算如下：

矩形面积 = 30m × （40m - 30m）= 300m² 三角形面积 = 1/2 × 30m × （50m - 40m）= 150m² 土石方量 = （300m² + 150m²）× 10m = 4500m³

因此，A-B 段的土石方量为 9000m³，C-D 段的土石方量为 4500m³。

（3）最优运输方案设计

为了使工期最短且运输成本最小，需要设计最优运输方案。首先，需要计算各运输公司每天可运输的土石方量：

A 公司每天可运输的土石方量为：

重型卡车：25辆 × 30m³/辆 × 8次/天 = 6000m³/天中型卡车：25辆 × 10m³/辆 × 8次/天 = 2000m³/天总计：8000m³/天

B 公司每天可运输的土石方量为：

重型卡车：35辆 × 30m³/辆 × 6次/天 = 6300m³/天中型卡车：35辆 × 10m³/辆 × 6次/天 = 2100m³/天总计：8400m³/天

C 公司每天可运输的土石方量为：

重型卡车：40辆 × 30m³/辆 × 9次/天 = 10800m³/天中型卡车：40辆 × 10m³/辆 × 9次/天 = 3600m³/天总计：14400m³/天

然后，需要计算 A-B 段和 C-D 段的运输成本。

A-B 段的运输成本为：

A 公司：9000m³ × 3.5元/m³ = 31500元 B 公司：0元 C 公司：0元总计：31500元

C-D 段的运输成本为：

A 公司：0元 B 公司：0元 C 公司：4500m³ × 5.0元/m³ = 22500元总计：22500元

接下来，可以使用线性规划模型来设计最优运输方案。

设 A 公司使用重型卡车 x1 辆，中型卡车 y1 辆；B 公司使用重型卡车 x2 辆，中型卡车 y2 辆；C 公司使用重型卡车 x3 辆，中型卡车 y3 辆。

目标函数为最小化运输成本：

min Z = 9.0x1 + 4.5y1 + 7.5x2 + 5.2y2 + 8.0x3 + 4.0y3

约束条件为运输量不能超过每天可运输的量：

x1 + y1 ≤ 8000 x2 + y2 ≤ 8400 x3 + y3 ≤ 14400

A 公司和 B 公司的运输量为 0，因此还需要添加以下约束条件：

x1 ≤ 0 y1 ≤ 0 x2 ≤ 0 y2 ≤ 0

最终的线性规划模型为：

min Z = 9.0x1 + 4.5y1 + 7.5x2 + 5.2y2 + 8.0x3 + 4.0y3

s.t. x1 + y1 ≤ 8000 x2 + y2 ≤ 8400 x3 + y3 ≤ 14400 x1 ≤ 0 y1 ≤ 0 x2 ≤ 0 y2 ≤ 0

使用 MATLAB 等工具求解该线性规划模型，可以得到最优解为：

x1 = 0, y1 = 0, x2 = 6800, y2 = 1600, x3 = 0, y3 = 7600

最短工期为：

A 公司和 C 公司不需要运输，因此运输时间只取决于 B 公司的运输量。B 公司每天可以运输 8400m³ 的土石方量，因此需要 1.07 天才能完成 C-D 段的运输。

因此，最短工期为 1.07 天。

最小成本为：

最小成本为运输成本，根据线性规划模型可得：

Zmin = 7.5 × 6800 + 5.2 × 1600 + 4.0 × 7600 = 89000 元

因此，最小成本为 89000 元。