证明：如果一个有理系数多项式的根是一个无理数r则这个无理数的共轭也是这个有理数系数多项式的根

假设一个有理系数多项式$f(x)$的根是一个无理数$r$，即$f(r)=0$，且$r$是一个实数但不是有理数。

设$r$的共轭为$\bar{r}$，即$\bar{r}$是$r$的实数共轭，但不是$r$本身。由于有理系数多项式的系数都是有理数，因此$r$和$\bar{r}$也都是无理数。

因为$r$和$\bar{r}$是实数共轭，所以它们的差是一个实数，即$r-\bar{r}$是一个实数。又因为有理数的集合在实数中是稠密的，即对于任意实数$x$，都可以在有理数集合中找到一列数趋近于$x$。因此，存在一个有理数序列${q_n}$，使得$q_n\rightarrow r-\bar{r}$。

考虑多项式$f(x)$在$x=r$和$x=\bar{r}$处的值：

$$f(r)=0,\quad f(\bar{r})=0$$

将$r=\bar{r}+r-\bar{r}$代入上式，得到：

$$f(\bar{r}+r-\bar{r})=0$$

即：

$$f(\bar{r}+q_n)=0$$

因为${q_n}$是一个有理数序列，所以$\bar{r}+q_n$也是一个无理数序列，且趋近于$r$。因此，$\bar{r}$也是多项式$f(x)$的根。