证明拉格朗日中值定理

假设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导。则存在$c\in(a,b)$使得$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$

证明：

定义$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，则$g(a)=f(a)$，$g(b)=f(b)$。同时，$g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。因为$f(x)$在$(a,b)$内可导，所以$g'(x)$也在$(a,b)$内可导。而$g(a)=g(b)$，由罗尔定理可知，存在$c\in(a,b)$使得$g'(c)=0$。即$$f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$ 整理得$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$ 证毕。