已知函数fxy当x^2+y^2不为0时fxy=x^32y^ax^2+y^2当x^2+y^2为0时fxy=0。当fxy在00可微时求a的取值范围

首先，当$(x,y)\neq (0,0)$时，$f(x,y)$可写成$f(x,y)=\frac{x^{3/2}y^a}{x^2+y^2}$，可以计算出$f_x$和$f_y$的表达式为： $$ f_x=\frac{3}{2}\frac{x^{1/2}y^a}{x^2+y^2}-\frac{2x^{3/2}y^a}{(x^2+y^2)^2},\quad f_y=\frac{ax^{3/2}y^{a-1}}{x^2+y^2}-\frac{2xy^a}{(x^2+y^2)^2} $$ 其次，当$(x,y)=(0,0)$时，需要证明$f(x,y)$在原点连续。由于 $$ 0\leq |f(x,y)|=\left|\frac{x^{3/2}y^a}{x^2+y^2}\right|\leq \frac{|xy^a|}{\sqrt{x^2+y^2}} $$ 因此，当$a\geq 0$时，$f(x,y)$在原点连续；当$a<0$时，$f(x,y)$在原点发散。因此，$a\geq 0$是连续性的必要条件。

最后，需要证明$f(x,y)$在原点可微的充分条件是$a>\frac{1}{2}$。考虑用极限的定义来证明。首先，当$a>\frac{1}{2}$时，对于任意的$h\neq 0$，有 \begin{align*} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}&=\frac{h^{3/2}\cdot 0^a}{h^2+0^2}=0\ \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}&=\frac{0^{3/2}\cdot h^a}{0^2+h^2}=0 \end{align*} 因此，$f(x,y)$在原点的偏导数都为0。其次，对于任意的$(x,y)\neq (0,0)$，有 $$ \frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x^{3/2}y^a}{(x^2+y^2)^{3/2}} $$ 根据夹逼定理，当$a>\frac{1}{2}$时，上式的极限为0。因此，$f(x,y)$在原点可微且$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。当$a=\frac{1}{2}$时，$f(x,y)$在原点不可微。因此，$a>\frac{1}{2}$是可微性的充分条件。

综上所述，$a\in\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$是$f(x,y)$在原点可微的充分且必要条件，且$a\geq 0$是连续性的必要条件。