在m维欧式空间中t_ii是1到m的正整数是m个相互垂直的单位向量f是一个可微函数求证：求和i等于1到mfx对t_i的方向导数的平方等于求和i等于1到mfx对第i个分量的偏导数的平方

根据向量分解定理，任意向量x可以表示为x = x1t1 + x2t2 + ... + xm tm，其中x1,x2,...,xm为实数，t1,t2,...,tm为m个相互垂直的单位向量。

则f(x)对第i个分量的偏导数为：

∂f/∂xi = ∂f/∂x1 * ∂x1/∂xi + ∂f/∂x2 * ∂x2/∂xi + ... + ∂f/∂xm * ∂xm/∂xi

注意到对于j≠i，∂xj/∂xi = 0，因为tj与ti相互垂直。因此上式可以简化为：

∂f/∂xi = ∂f/∂xi * ∂xi/∂xi = ∂f/∂xi * 1

即∂f/∂xi = ∂f/∂x * ti，其中ti表示x向量在第i个分量上的单位向量。

因此，f(x)对ti的方向导数为：

∂f/∂t_i = ∂f/∂x * ti / ||ti|| = ∂f/∂xi ||x||

于是，我们有：

(∑_{i=1}^m (∂f/∂t_i)^2) = (∑_{i=1}^m (∂f/∂xi)^2) * ||x||^2

即所求证的式子成立。