对弧长的积分怎么求不用函数

对于一条曲线的弧长积分，可以使用参数方程来求解。假设曲线的参数方程为：

$$\begin{cases}x=x(t) \ y=y(t)\end{cases}$$

其中 $t$ 为参数，可以是时间或者任意实数。则曲线上任意两点之间的距离可以表示为：

$$\Delta s=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$$

其中 $\Delta x=x_2-x_1$，$\Delta y=y_2-y_1$。

将参数方程代入上式，得到：

$$\Delta s=\sqrt{(x(t_2)-x(t_1))^2+(y(t_2)-y(t_1))^2}=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$$

然后对上式进行积分即可求出整条曲线的弧长：

$$s=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$$

其中 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$ 分别为 $x(t)$ 和 $y(t)$ 的导数。